Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00043788

Обозначим угол при большем основании $\angle A=\alpha$ (он острый), высоту трапеции $h$. Окружность касается боковых сторон и основания $AD$.

Где центр и какой радиус. Центр равноудалён от $AB$ и $CD$, поэтому лежит на оси симметрии трапеции; окружность касается $AD$ в её середине $H$. Центр $Q$ лежит и на биссектрисе угла $A$, поэтому радиус

$$\rho=AH\operatorname{tg}\dfrac\alpha2=\dfrac c2\operatorname{tg}\dfrac\alpha2.$$

Пункт а. Прямая $BC$ параллельна $AD$ и находится на высоте $h$, центр — на высоте $\rho$. Прямая $BC$ пересекает окружность в двух точках, когда расстояние до центра меньше радиуса: $|h-\rho|\lt\rho$, то есть $h\lt2\rho$.

Проведём касательную $\ell$ к окружности, параллельную $AD$; она на высоте $2\rho$ и пересекает прямые $AB$ и $CD$ в точках $B'$ и $C'$. В трапецию $AB'C'D$ окружность вписана, поэтому $B'C'+c=2AB'$.

Посмотрим, как при фиксированных $AD$ и угле $\alpha$ зависит от высоты величина «сумма оснований минус две боковые стороны». Боковая сторона $\dfrac{h}{\sin\alpha}$, верхнее основание $c-2h\operatorname{ctg}\alpha$, поэтому

$$b+c-2a=2c-2h\left(\operatorname{ctg}\alpha+\dfrac{1}{\sin\alpha}\right).$$

Это выражение убывает с ростом $h$ и обращается в ноль при $h=2\rho$ (трапеция $AB'C'D$). Поэтому условие $b+c\gt2a$ равносильно $h\lt2\rho$, а значит, прямая $BC$ пересекает окружность в двух точках.

Эти точки лежат на отрезке $BC$, а не на его продолжениях: окружность целиком находится между прямыми $AB$ и $CD$ (касается их изнутри угла), а часть прямой $BC$ между этими прямыми — это и есть сторона $BC$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. $c=12$, $b=10$, $a=8$. Проекция боковой стороны на $AD$ равна полуразности оснований $1$, поэтому $\cos\alpha=\dfrac18$, $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{63}}{8}$, $h=8\sin\alpha=\sqrt{63}=3\sqrt7$.

$$\operatorname{tg}\dfrac\alpha2=\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\sqrt{\dfrac{7/8}{9/8}}=\dfrac{\sqrt7}{3},\qquad \rho=6\cdot\dfrac{\sqrt7}{3}=2\sqrt7.$$

Расстояние от центра до прямой $BC$: $h-\rho=3\sqrt7-2\sqrt7=\sqrt7$. Половина хорды по теореме Пифагора:

$$\sqrt{\rho^2-7}=\sqrt{28-7}=\sqrt{21},$$

а вся часть отрезка $BC$ внутри окружности равна $2\sqrt{21}$.

Проверка: $b+c=22\gt2a=16$ — условие пункта а выполнено. Хорда $2\sqrt{21}\approx9{,}17$ короче $BC=10$, так что она целиком лежит на стороне.