Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00043762

Решим задачу в координатах: так положение точки $B$ получится прямым счётом.

Пункт а. Поместим начало координат в $D$, ось абсцисс направим по $DC$, ось ординат — по $DA$. Высота трапеции $AD$ равна диаметру вписанной окружности: $AD=2R$. Центр окружности удалён от $DC$ и от $DA$ на $R$, поэтому $O(R;\,R)$. Точка касания со стороной $AB$ (это прямая $y=2R$) — $G(R;\,2R)$.

Биссектриса прямого угла $D$ — прямая $y=x$. Сторона $BC$ ей перпендикулярна, поэтому её уравнение имеет вид $x+y=k$.

Прямая $BC$ касается окружности, то есть расстояние от $O$ до неё равно $R$:

$$\dfrac{|R+R-k|}{\sqrt2}=R\quad\Longrightarrow\quad |2R-k|=R\sqrt2.$$

Значение $k=2R-R\sqrt2$ не подходит: такая прямая проходит между $D$ и $O$ и отрезала бы окружность от вершины $D$. Остаётся $k=2R+R\sqrt2$.

Точка $B$ лежит на прямой $AB$, то есть $y=2R$, и на прямой $BC$: $x_B=k-2R=R\sqrt2$. Тогда

$$BG=x_B-x_G=R\sqrt2-R=(\sqrt2-1)R.$$

Что и требовалось доказать.

Пункт б. Найдём положение $N$. Это пересечение прямых $y=x$ и $x+y=k$: $N\left(\dfrac k2;\,\dfrac k2\right)$. Вектор $\overrightarrow{ON}=\left(\dfrac k2-R;\,\dfrac k2-R\right)$ перпендикулярен $BC$, а его длина $\sqrt2\left(\dfrac k2-R\right)=\sqrt2\cdot\dfrac{R\sqrt2}{2}=R$. Значит, $N$ — точка касания, и $\angle ONB=90^\circ$. Угол $OGB$ тоже прямой (радиус в точку касания).

Точки $G$ и $N$ видят отрезок $OB$ под прямым углом, поэтому лежат на окружности с диаметром $OB$. Это и есть окружность, описанная около $BNOG$, её радиус равен $\dfrac{OB}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $OGB$ при $R=6$, $BG=6(\sqrt2-1)$:

$$OB^2=OG^2+BG^2=36+36(\sqrt2-1)^2=36\left(1+3-2\sqrt2\right)=36(4-2\sqrt2).$$

$$OB=6\sqrt{4-2\sqrt2},\qquad \dfrac{OB}{2}=3\sqrt{4-2\sqrt2}.$$

Проверим прикидкой: $4-2\sqrt2\approx1{,}17$, корень $\approx1{,}08$, радиус $\approx3{,}25$. Он чуть больше половины $OG=6$ — так и должно быть, ведь $OB$ — гипотенуза, она длиннее катета $OG$.