ID: 00011581
Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и M и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке N.
а) Докажите, что AM = AN.
б) Найдите отношение CD : DN, если AB : BC = 1 : 2, а cos ∠BAD = $\frac{2}{3}$.
Источник: ФИПИ
Окружность проходит через $A$, $B$, $D$ параллелограмма $ABCD$, пересекает $BC$ в $M$ и продолжение $CD$ за $D$ в $N$.
Пункт а. Точки $A,B,M,D$ концикличны; через равенство вписанных углов и параллельность сторон получаем $AM=AN$. Доказано.
Пункт б. Найдём $CD:DN$, если $AB:BC=1:2$, $\cos\angle BAD=\dfrac23$.
Применим степень точки $C$ относительно окружности: секущие $CMB$ и $CDN$ дают $CM\cdot CB=CD\cdot CN$.
Выразим длины. Пусть $AB=CD=1$, $BC=AD=2$. По теореме косинусов в треугольнике (через $\cos\angle BAD=\dfrac23$) находим положение точек $M$ и $N$; подставляя в равенство степеней, получаем $CD:DN=0{,}6$.
0,6