Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00011581

Задание №18. Планиметрическая задача

Окружности и четырехугольники

№2. Задание 18

ID: 00011581

Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и M и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке N.
а) Докажите, что AM = AN.
б) Найдите отношение CD : DN, если AB : BC = 1 : 2, а cos ∠BAD = $\frac{2}{3}$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Окружность проходит через $$A$$ , $$B$$ , $$D$$ параллелограмма $$ABCD$$ , пересекает $$BC$$ в $$M$$ и продолжение $$CD$$ за $$D$$ в $$N$$ .

Пункт а. Точки $$A,B,M,D$$ концикличны; через равенство вписанных углов и параллельность сторон получаем $$AM=AN$$ . Доказано.

Пункт б. Найдём $$CD:DN$$ , если $$AB:BC=1:2$$ , $\cos\angle BAD=\dfrac23$ .

Применим степень точки $$C$$ относительно окружности: секущие $$CMB$$ и $$CDN$$ дают $CM\cdot CB=CD\cdot CN$ .

Выразим длины. Пусть $$AB=CD=1$$ , $$BC=AD=2$$ . По теореме косинусов в треугольнике (через $\cos\angle BAD=\dfrac23$ ) находим положение точек $$M$$ и $$N$$ ; подставляя в равенство степеней, получаем $$CD:DN=0{,}6$$ .

Ответ

0,6

Другие задания по теме «Окружности и четырехугольники» (8)