Задание 17 ЕГЭ по математике: Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD,…

№2. Задание 17

ID: 00011581

Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и M и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке N.
а) Докажите, что AM = AN.
б) Найдите отношение CD : DN, если AB : BC = 1 : 2, а cos ∠BAD = $\frac{2}{3}$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Окружность проходит через $A$ , $B$ , $D$ параллелограмма $ABCD$ , пересекает $BC$ в $M$ и продолжение $CD$ за $D$ в $N$ .

Пункт а. Точки $A,B,M,D$ концикличны; через равенство вписанных углов и параллельность сторон получаем $AM=AN$ . Доказано.

Пункт б. Найдём $CD:DN$ , если $AB:BC=1:2$ , $\cos\angle BAD=\dfrac23$ .

Применим степень точки $C$ относительно окружности: секущие $CMB$ и $CDN$ дают $CM\cdot CB=CD\cdot CN$ .

Выразим длины. Пусть $AB=CD=1$ , $BC=AD=2$ . По теореме косинусов в треугольнике (через $\cos\angle BAD=\dfrac23$ ) находим положение точек $M$ и $N$ ; подставляя в равенство степеней, получаем $CD:DN=0{,}6$ .

Ответ

0,6