ID: 00013630
Окружность с центром в точке 𝑂 высекает на всех сторонах трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 равные хорды.
а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.
б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону 𝐴𝐵 в точках 𝐾 и 𝐿 так, что 𝐴𝐾 = 15, 𝐾𝐿 = 6, 𝐿𝐵 = 5.
Источник: ФИПИ
Окружность с центром $O$ высекает на всех сторонах трапеции $ABCD$ равные хорды.
Пункт а. Докажем, что биссектрисы всех углов пересекаются в одной точке.
Равные хорды окружности равноудалены от центра, поэтому $O$ равноудалён от всех четырёх сторон трапеции.
Точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе, поэтому $O$ лежит на биссектрисе каждого угла. Значит, все биссектрисы проходят через одну точку $O$. Доказано.
Пункт б. Найдём высоту, если на $AB$ хорда $KL=6$, $AK=15$, $LB=5$.
Половина хорды $=3$, расстояние от $O$ до стороны $\rho=\sqrt{R^2-3^2}$, и высота трапеции $h=2\rho$ (центр равноудалён от обоих оснований).
Проекция $O$ на $AB$ — середина $KL$, на расстоянии $AK+\dfrac{KL}{2}=15+3=18$ от $A$; на $BC$-стороне — на $LB+\dfrac{KL}{2}=5+3=8$ от $B$.
По свойству равноудалённости проекции $O$ на смежные стороны отстоят от вершины одинаково, поэтому вдоль боковой стороны $AB=AK+KL+LB=15+6+5=26$ работает прямоугольный треугольник: $(2\rho)^2+(18-8)^2=AB^2$.
Тогда $4\rho^2=26^2-10^2=676-100=576$, $\rho^2=144$, $\rho=12$, и высота $h=2\rho=24$.
24