Окружность с центром O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хорды.

Пункт а. Докажем, что биссектрисы всех углов пересекаются в одной точке.

Равные хорды окружности равноудалены от центра, поэтому O равноудалён от всех четырёх сторон трапеции.

Точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе, поэтому O лежит на биссектрисе каждого угла. Значит, все биссектрисы проходят через одну точку O. Доказано.

Пункт б. Найдём высоту, если на AB хорда KL=6, AK=15, LB=5.

Половина хорды =3, расстояние от O до стороны \rho=\sqrt{R^2-3^2}, и высота трапеции h=2\rho (центр равноудалён от обоих оснований).

Проекция O на AB — середина KL, на расстоянии AK+\dfrac{KL}{2}=15+3=18 от A; на BC-стороне — на LB+\dfrac{KL}{2}=5+3=8 от B.

По свойству равноудалённости проекции O на смежные стороны отстоят от вершины одинаково, поэтому вдоль боковой стороны AB=AK+KL+LB=15+6+5=26 работает прямоугольный треугольник: (2\rho)^2+(18-8)^2=AB^2.

Тогда 4\rho^2=26^2-10^2=676-100=576, \rho^2=144, \rho=12, и высота h=2\rho=24.