Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00043767

Окружность вписана в угол, $AE$ и $CD$ — диаметры. Почти всё здесь держится на двух фактах: четырёхугольник $ACED$ — прямоугольник, а прямая $BO$ — ось симметрии рисунка.

Пункт а. Диаметры $AE$ и $CD$ равны и точкой $O$ делятся пополам. Четырёхугольник $ACED$, у которого диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, — прямоугольник. Поэтому $DE=AC$.

Отрезки касательных из точки $B$ равны: $BA=BC$. Угол $ABC=60^\circ$, значит, треугольник $ABC$ равнобедренный с углом $60^\circ$ при вершине, то есть равносторонний: $AC=AB$. Итак, $AB=AC=DE$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Пусть $R=7\sqrt3$. В прямоугольном треугольнике $OAB$ угол $OBA=30^\circ$ (центр лежит на биссектрисе угла), поэтому

$$AB=R\operatorname{ctg}30^\circ=7\sqrt3\cdot\sqrt3=21,\qquad BO=\dfrac{R}{\sin30^\circ}=14\sqrt3.$$

Симметрия относительно прямой $BO$ меняет местами $A$ и $C$, а значит, и концы диаметров: $E\leftrightarrow D$. Прямые $BD$ и $BE$ тоже переходят друг в друга, а с ними $N\leftrightarrow P$. Поэтому $NP\parallel DE$ (обе перпендикулярны $BO$), и $DEPN$ — равнобокая трапеция.

Найдём положение $N$. Радиус $OC$ перпендикулярен касательной $BC$, а точка $D$ лежит на прямой $CO$. Значит, треугольник $BCD$ прямоугольный с прямым углом $C$:

$$BD^2=BC^2+CD^2=21^2+(14\sqrt3)^2=441+588=1029.$$

Угол $CND$ опирается на диаметр $CD$, поэтому он прямой, и $CN$ — высота прямоугольного треугольника $BCD$. Катет — среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией: $BC^2=BN\cdot BD$, откуда

$$\dfrac{BN}{BD}=\dfrac{BC^2}{BD^2}=\dfrac{441}{1029}=\dfrac37.$$

Введём ось вдоль $BO$ с началом в $B$. Проекция $C$ на эту ось: $BC\cos30^\circ=21\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=10{,}5\sqrt3$, расстояние от $C$ до оси $\dfrac{AC}{2}=10{,}5$. Точка $D$ симметрична $C$ относительно $O$: её проекция $2\cdot14\sqrt3-10{,}5\sqrt3=17{,}5\sqrt3$, расстояние до оси $10{,}5$.

Точка $N$ делит $BD$ в отношении $3:4$ от $B$, поэтому её проекция $\dfrac37\cdot17{,}5\sqrt3=7{,}5\sqrt3$, а расстояние до оси $\dfrac37\cdot10{,}5=4{,}5$. Значит, $NP=9$, а $DE=21$.

Высота трапеции — расстояние между $DE$ и $NP$ вдоль оси: $17{,}5\sqrt3-7{,}5\sqrt3=10\sqrt3$. Площадь:

$$S=\dfrac{DE+NP}{2}\cdot10\sqrt3=\dfrac{21+9}{2}\cdot10\sqrt3=150\sqrt3.$$

Проверим, что $N$ на окружности: $O$ имеет проекцию $14\sqrt3$, поэтому $ON^2=(6{,}5\sqrt3)^2+4{,}5^2=126{,}75+20{,}25=147=(7\sqrt3)^2$. Верно.