Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00043768

Окружность вписана в тупой угол $120^\circ$. Радиусы в точки касания перпендикулярны сторонам угла — с этих прямых углов всё и начинается.

Пункт а. В четырёхугольнике $OABC$ углы при $A$ и $C$ прямые (радиусы в точки касания), угол $B$ равен $120^\circ$. Тогда

$$\angle AOC=360^\circ-90^\circ-90^\circ-120^\circ=60^\circ.$$

Треугольник $AOC$ равнобедренный ($OA=OC=R$) с углом $60^\circ$, значит, равносторонний: $AC=R$ и $\angle ACO=60^\circ$.

Угол $CAD$ опирается на диаметр $CD$, он прямой. В прямоугольном треугольнике $ACD$ угол при $C$ равен $60^\circ$, поэтому $AD=AC\operatorname{tg}60^\circ=R\sqrt3$.

Отрезок касательной $BC$ найдём из прямоугольного треугольника $OCB$: центр лежит на биссектрисе, $\angle OBC=60^\circ$, поэтому $BC=R\operatorname{ctg}60^\circ=\dfrac{R}{\sqrt3}$.

Сравним: $3BC=\dfrac{3R}{\sqrt3}=R\sqrt3=AD$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. $R=13$. Сначала найдём $DE$. Углы $DOE$ и $AOC$ вертикальные (диаметры $AE$ и $CD$ пересекаются в $O$), поэтому $\angle DOE=60^\circ$. Треугольник $DOE$ равнобедренный ($OD=OE=R$) с углом $60^\circ$, то есть равносторонний: $DE=R=13$.

Из точки $B$ выходят две секущие: $BND$ и $BPE$. Для каждой произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной: $BN\cdot BD=BC^2=BP\cdot BE$. Отсюда $\dfrac{BN}{BE}=\dfrac{BP}{BD}$, и треугольники $BNP$ и $BED$ подобны: угол $B$ общий, а стороны при нём пропорциональны. Значит, $NP=\dfrac{BN}{BE}\cdot DE$.

Найдём $BD$ из треугольника $BOD$. Центр лежит на биссектрисе угла $B$, поэтому $\angle OBC=60^\circ$, $\angle BOC=30^\circ$ и $BO=\dfrac{R}{\sin60^\circ}=\dfrac{2R}{\sqrt3}$. Точка $D$ лежит на продолжении радиуса $CO$ за центр, поэтому $\angle BOD=180^\circ-30^\circ=150^\circ$. По теореме косинусов:

$$BD^2=BO^2+OD^2-2\cdot BO\cdot OD\cdot\cos150^\circ=\dfrac{4R^2}{3}+R^2+2\cdot\dfrac{2R}{\sqrt3}\cdot R\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{4R^2}{3}+3R^2=\dfrac{13R^2}{3}.$$

Точно так же $\angle BOE=150^\circ$ ($E$ — на продолжении радиуса $AO$), поэтому $BE=BD$. Касательная $BC=R\operatorname{ctg}60^\circ=\dfrac{R}{\sqrt3}$, $BC^2=\dfrac{R^2}{3}$. Тогда

$$\dfrac{BN}{BE}=\dfrac{BC^2/BD}{BD}=\dfrac{BC^2}{BD^2}=\dfrac{R^2/3}{13R^2/3}=\dfrac1{13}.$$

Значит, $PN=\dfrac{1}{13}\cdot DE=\dfrac{13}{13}=1$.

Проверим себя: $BN=\dfrac{BC^2}{BD}=\dfrac{169/3}{\sqrt{2197/3}}\approx\dfrac{56{,}3}{27{,}1}\approx2{,}08$ — точка $N$ близко к $B$, поэтому и отрезок $NP$ маленький. Это согласуется с тем, что угол $120^\circ$ широкий и касательные короткие: $BC=\dfrac{13}{\sqrt3}\approx7{,}5$.