Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00043778

Здесь в квадрате спрятаны несколько фигур, и все они связаны площадями. Удобно сначала выразить площадь четырёхугольника $EBFP$ через отрезки $BE$ и $BP$, а затем понять, где на диагонали стоит точка $P$.

Обозначим сторону квадрата $s$. Диагональ $BD=s\sqrt2$ — ось симметрии и квадрата, и четырёхугольника $EBFP$ (ведь $BE=BF$).

Площадь четырёхугольника $EBFP$. Диагональ $BP$ делит его на два равных треугольника $EBP$ и $FBP$ с углом $45^\circ$ при вершине $B$ (диагональ квадрата делит прямой угол пополам):

$$S_{EBFP}=2\cdot\dfrac12\cdot BE\cdot BP\cdot\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\,BE\cdot BP.$$

Пункт а. По условию $S_{EBFP}$ в четыре раза меньше площади квадрата. При $BP\cdot BE=\sqrt2$:

$$\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\sqrt2=1=\dfrac{s^2}{4}\ \Longrightarrow\ s^2=4,\ s=2.$$

Что и требовалось доказать.

Пункт б. Прямая через $P$, параллельная $AC$, перпендикулярна диагонали $BD$. Она отсекает от квадрата равнобедренный прямоугольный треугольник при вершине $B$ или при вершине $D$. Если расстояние от вершины до $P$ по диагонали равно $t$, катеты этого треугольника равны $t\sqrt2$, а площадь $t^2$. Условие $t^2=\dfrac{s^2}{4}$ даёт $t=\dfrac s2$.

Какая вершина? Если треугольник при $B$, то $BP=\dfrac s2$, а его катеты равны $\dfrac s2\cdot\sqrt2=\dfrac{s}{\sqrt2}$. Из площади четырёхугольника $\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot BE\cdot\dfrac s2=\dfrac{s^2}{4}$ получаем $BE=\dfrac{s}{\sqrt2}$ — это ровно катет. Значит, $E$ и $F$ — концы гипотенузы этого треугольника, и $P$ лежит на отрезке $EF$. Треугольник $EPF$ тогда вырожден. Поэтому треугольник отсекается при вершине $D$: $DP=\dfrac s2$, $BP=s\sqrt2-\dfrac s2$.

Треугольники $EPF$ и $EBF$ вместе составляют $EBFP$, поэтому

$$\dfrac{S_{EPF}}{S_{EBF}}=\dfrac{S_{EBFP}}{S_{EBF}}-1.$$

Из площади $EBFP$: $\dfrac{\sqrt2}{2}BE\cdot BP=\dfrac{s^2}{4}$, откуда $BE=\dfrac{s^2}{2\sqrt2\,BP}$. Площадь прямоугольного треугольника $EBF$: $S_{EBF}=\dfrac{BE^2}{2}=\dfrac{s^4}{16\,BP^2}$. Тогда

$$\dfrac{S_{EBFP}}{S_{EBF}}=\dfrac{s^2}{4}\cdot\dfrac{16\,BP^2}{s^4}=\dfrac{4BP^2}{s^2}=4\left(\sqrt2-\dfrac12\right)^2=4\left(2-\sqrt2+\dfrac14\right)=9-4\sqrt2.$$

$$\dfrac{S_{EPF}}{S_{EBF}}=9-4\sqrt2-1=8-4\sqrt2=4\left(2-\sqrt2\right).$$

Проверим числами при $s=2$: $BP=2\sqrt2-1\approx1{,}828$, $BE=\dfrac{4}{2\sqrt2\cdot1{,}828}\approx0{,}774$ — точка $E$ действительно на стороне $AB$. $S_{EBF}\approx0{,}299$, $S_{EPF}\approx1-0{,}299=0{,}701$, отношение $\approx2{,}34$, а $8-4\sqrt2\approx2{,}34$. Совпало.