Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00043775

Здесь биссектриса угла $A$ параллелограмма пересекает обе пары параллельных прямых. Каждая такая встреча даёт равные углы, а равные углы в треугольнике — равные стороны. Выразим все нужные отрезки через две стороны параллелограмма.

Обозначим $\angle KAC=\varphi$. Тогда $\angle CAD=\varphi$, $\angle KAD=\angle BAK=2\varphi$.

Пункт а. Пусть $AB=CD=b$, $AD=BC=a$.

Треугольник $APD$: $\angle APD=\angle BAP=2\varphi$ (накрест лежащие при $AB\parallel DP$) и $\angle PAD=2\varphi$. Углы при $A$ и $P$ равны, значит, $DP=AD=a$. Точка $C$ лежит на отрезке $DP$, поэтому $PC=DP-DC=a-b$.

Прямая $CK$ параллельна $DA$, поэтому треугольник $PCK$ подобен треугольнику $PDA$ с коэффициентом $\dfrac{PC}{PD}=\dfrac{a-b}{a}$. Отсюда $CK=\dfrac{a-b}{a}\cdot DA=a-b$ и $PK=\dfrac{a-b}{a}\cdot PA$.

Треугольник $AKC$: $\angle KCA=\angle CAD=\varphi$ (накрест лежащие при $BC\parallel AD$) $=\angle KAC$. Значит, $AK=KC=a-b$.

Точка $K$ лежит на отрезке $AP$, поэтому $PA=PK+KA=PK+(a-b)$. Подставим в $a\cdot PK=(a-b)\cdot PA$:

$$a\cdot PK=(a-b)\bigl(PK+a-b\bigr)\iff a\cdot PK-(a-b)\cdot PK=(a-b)^2\iff b\cdot PK=(a-b)^2.$$

Но $b=CD$, а $(a-b)^2=PC^2$. Получили $CD\cdot PK=PC^2$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Нужно отношение, поэтому вырази всё через $AK$ и угол $\varphi$. В равнобедренном треугольнике $AKC$ с углами $\varphi$ при основании

$$AC=2\cdot AK\cos\varphi.$$

Найдём длины. Пусть $b=AB=3$, $a=BC=8$. Из пункта а $PC=KC=AK=a-b=5$ и $PK=\dfrac{(a-b)^2}{b}=\dfrac{25}{3}$, поэтому $AP=5+\dfrac{25}{3}=\dfrac{40}{3}$.

Косинус угла $2\varphi$ возьмём из равнобедренного треугольника $ADP$: $\angle APD=\angle PAD=2\varphi$, боковые стороны $DA=DP=8$, основание $AP$. Высота из $D$ делит основание пополам:

$$\cos2\varphi=\dfrac{AP/2}{AD}=\dfrac{20/3}{8}=\dfrac56.$$

Переходим к половинному углу через формулу косинуса двойного угла: $\cos^2\varphi=\dfrac{1+\cos2\varphi}{2}=\dfrac{11}{12}$, $\cos\varphi=\sqrt{\dfrac{11}{12}}$.

$$AC=2\cdot5\sqrt{\dfrac{11}{12}}=\dfrac{10\sqrt{11}}{2\sqrt3}=\dfrac{5\sqrt{33}}{3},\qquad \dfrac{AC}{AP}=\dfrac{5\sqrt{33}/3}{40/3}=\dfrac{\sqrt{33}}{8}.$$

Проверим $AC$ теоремой косинусов в треугольнике $AKC$: угол $AKC=180^\circ-2\varphi$, $AC^2=25+25+50\cdot\dfrac56=\dfrac{275}{3}$, и $\left(\dfrac{5\sqrt{33}}{3}\right)^2=\dfrac{825}{9}=\dfrac{275}{3}$. Совпало.