Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00043774

Здесь три биссектрисы и параллельные стороны — значит, будет много равнобедренных треугольников. Начнём с углов.

Пункт а. Обозначим $\angle KAC=\varphi$. Так как $AC$ — биссектриса угла $KAD$, то $\angle CAD=\varphi$ и $\angle KAD=2\varphi$. Так как $AK$ — биссектриса угла $BAD$, то $\angle BAK=2\varphi$.

Найдём три равнобедренных треугольника.

1) Треугольник $ABK$: $\angle AKB=\angle KAD=2\varphi$ (накрест лежащие, $BC\parallel AD$) $=\angle BAK$. Значит, $AB=BK$.

2) Треугольник $AKC$: $\angle KCA=\angle CAD=\varphi$ (накрест лежащие) $=\angle KAC$. Значит, $AK=KC$.

3) Треугольник $ADP$: $\angle APD=\angle BAP=2\varphi$ (накрест лежащие, $AB\parallel DP$) $=\angle PAD$. Значит, $DP=DA$.

Обозначим $AB=CD=b$, $AD=BC=a$. Тогда $BK=b$, $KC=a-b$, $AK=a-b$, $DP=a$, $CP=a-b$.

Треугольники $ABK$ и $PCK$ подобны: $AB\parallel CP$, углы при $K$ вертикальные. Поэтому

$$\dfrac{KP}{AK}=\dfrac{CP}{AB}=\dfrac{a-b}{b}\ \Longrightarrow\ KP=\dfrac{(a-b)^2}{b}.$$

Тогда $CD\cdot PK=b\cdot\dfrac{(a-b)^2}{b}=(a-b)^2=PC^2$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Нужно отношение, поэтому длины можно выбрать удобными: $AB=2$, $BC=5$ (отношение $2{,}5$). Тогда $CP=AK=KC=3$, $KP=\dfrac{9}{2}$, $AP=AK+KP=\dfrac{15}{2}$.

Косинус угла $2\varphi$ найдём из равнобедренного треугольника $ABK$ ($AB=BK=2$, основание $AK=3$): высота из $B$ делит основание пополам, поэтому

$$\cos2\varphi=\dfrac{AK/2}{AB}=\dfrac{1{,}5}{2}=\dfrac34.$$

Теперь треугольник $AKC$: $AK=KC=3$, угол $AKC=180^\circ-\angle AKB=180^\circ-2\varphi$. По теореме косинусов:

$$AC^2=9+9-2\cdot9\cos(180^\circ-2\varphi)=18+18\cdot\dfrac34=31{,}5,\qquad AC=\sqrt{\dfrac{63}{2}}=\dfrac{3\sqrt{14}}{2}.$$

$$\dfrac{AC}{AP}=\dfrac{3\sqrt{14}/2}{15/2}=\dfrac{\sqrt{14}}{5}.$$

Проверим $AC$ вторым способом: в равнобедренном треугольнике $AKC$ основание $AC=2\cdot AK\cos\varphi$, а $\cos\varphi=\sqrt{\dfrac{1+\cos2\varphi}{2}}=\sqrt{\dfrac78}$. Получаем $AC=6\sqrt{\dfrac78}=\dfrac{3\sqrt{14}}{2}$. Совпало.