Задание 18 ЕГЭ по математике №00043770

Высоту докажем через разность квадратов, а радиус найдём по теореме синусов.

Пункт а. Из $BD:DC=2:1$ при $BC=6$: $BD=4$, $DC=2$.

Сначала убедимся, что основание высоты из $A$ лежит на отрезке $BC$: углы $B$ и $C$ острые, так как $AC^2=60\lt AB^2+BC^2=108$ и $AB^2=72\lt AC^2+BC^2=96$.

Пусть $H$ — основание высоты. Запишем $AH^2$ из двух прямоугольных треугольников:

$$AH^2=AB^2-BH^2=AC^2-CH^2\ \Longrightarrow\ BH^2-CH^2=AB^2-AC^2=72-60=12.$$

Разложим разность квадратов: $(BH-CH)(BH+CH)=12$. Так как $H$ на отрезке $BC$, то $BH+CH=6$, и $BH-CH=2$. Отсюда $BH=4=BD$, то есть $H$ совпадает с $D$, и $AD$ — высота. Что и требовалось доказать.

Пункт б. $AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{72-16}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}$.

$AC$ — биссектриса угла $BAE$, поэтому $C$ лежит между $B$ и $E$, и $\dfrac{BC}{CE}=\dfrac{AB}{AE}$. Пусть $DE=x$; тогда $CE=x-2$, $AE=\sqrt{56+x^2}$:

$$\dfrac{6}{x-2}=\dfrac{6\sqrt2}{\sqrt{56+x^2}}\iff 56+x^2=2(x-2)^2\iff x^2-8x-48=0.$$

Корни $x=12$ и $x=-4$; точке на луче $BC$ за $C$ отвечает $x=12$. Тогда $BE=4+12=16$, $AE=\sqrt{56+144}=\sqrt{200}=10\sqrt2$.

Угол $ABE$ треугольника $BAE$ — это угол $B$ исходного треугольника. Его синус из треугольника $ABD$:

$$\sin B=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{2\sqrt{14}}{6\sqrt2}=\dfrac{\sqrt7}{3}.$$

По теореме синусов в треугольнике $BAE$ сторона $AE$ лежит против угла $B$:

$$R=\dfrac{AE}{2\sin B}=\dfrac{10\sqrt2}{2\sqrt7/3}=\dfrac{15\sqrt2}{\sqrt7}=\dfrac{15\sqrt{14}}{7}.$$

Проверим вторым способом, через $R=\dfrac{abc}{4S}$: $S=\dfrac12\cdot16\cdot2\sqrt{14}=16\sqrt{14}$, $R=\dfrac{16\cdot10\sqrt2\cdot6\sqrt2}{64\sqrt{14}}=\dfrac{1920}{64\sqrt{14}}=\dfrac{30}{\sqrt{14}}=\dfrac{15\sqrt{14}}{7}$. Совпало. И ещё: $R\approx8{,}02$ не меньше половины самой длинной стороны $BE=16$, как и положено.