Задание 18 ЕГЭ по математике №00042181

Сначала разберёмся с картинкой. $O$ — центр описанной окружности, поэтому $OA=OB=OC=R$. Точка $K$ лежит на луче $AO$ за точкой $O$, значит, $O$ лежит на отрезке $AK$ и $\angle OKC=\angle AKC$.

Пункт а. Докажем, что четырёхугольник $OBKC$ можно вписать в окружность.

Обозначим $\angle BAC=\alpha$. Центральный угол $BOC$ опирается на ту же дугу $BC$, что и вписанный угол $BAC$, поэтому он вдвое больше: $\angle BOC=2\alpha$ (треугольник остроугольный, центр лежит внутри него).

Треугольник $BOC$ равнобедренный, ведь $OB=OC$ как радиусы. Углы при его основании равны:

$$\angle OBC=\angle OCB=\dfrac{180^\circ-2\alpha}{2}=90^\circ-\alpha.$$

По условию $\angle AKC=90^\circ-\alpha$, то есть $\angle OKC=90^\circ-\alpha=\angle OBC$.

Осталось понять, где лежат точки $B$ и $K$ относительно прямой $OC$. Прямая $CO$ пересекает описанную окружность ещё в точке $C_1$, диаметрально противоположной $C$. Центр остроугольного треугольника лежит внутри него, поэтому $C_1$ лежит на дуге $AB$, не содержащей $C$, и прямая $CC_1$ разделяет вершины $A$ и $B$. Точка $K$ лежит на продолжении $AO$ за точку $O$, то есть по другую сторону от прямой $OC$, чем $A$. Значит, $B$ и $K$ лежат по одну сторону от прямой $OC$.

Итак, из точек $B$ и $K$, лежащих по одну сторону от отрезка $OC$, этот отрезок виден под одним и тем же углом $90^\circ-\alpha$. Значит, точки $O$, $C$, $B$, $K$ лежат на одной окружности, и четырёхугольник $OBKC$ можно вписать в окружность. Доказано.

Пункт б. Найдём $R$, если радиус окружности $KBC$ равен 26, а $\cos\angle BAC=\dfrac{5}{13}$.

По пункту а окружность, описанная около треугольника $KBC$, проходит и через точку $O$. Обозначим её радиус $\rho=26$.

Отрезок $OB$ — хорда этой окружности. Из точки $C$, лежащей на той же окружности, хорда $OB$ видна под углом $\angle OCB=90^\circ-\alpha$. По теореме синусов для треугольника $OBC$, вписанного в окружность радиуса $\rho$:

$$OB=2\rho\sin\angle OCB=2\rho\sin(90^\circ-\alpha)=2\rho\cos\alpha.$$

Но $OB=R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$. Подставляем числа:

$$R=2\cdot 26\cdot\dfrac{5}{13}=\dfrac{260}{13}=20.$$

Проверим себя другим путём — через общую хорду $BC$. Синус угла $BAC$: $\sin\alpha=\sqrt{1-\dfrac{25}{169}}=\dfrac{12}{13}$. В окружности $ABC$ по теореме синусов $BC=2R\sin\alpha$. В окружности $OBKC$ та же хорда видна из точки $O$ под углом $2\alpha$, поэтому $BC=2\rho\sin2\alpha=4\rho\sin\alpha\cos\alpha$. Приравнивая, получаем $R=2\rho\cos\alpha=2\cdot26\cdot\dfrac{5}{13}=20$. Совпало.