ID: 00013629
На сторонах 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 и 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 отмечены точки 𝐶1, 𝐴1 и 𝐵1 соответственно, при 𝐴𝐶1:𝐶1𝐵 = 8:3, 𝐵𝐴1:𝐴1𝐶 = 1:2, 𝐴𝐵1 : 𝐵1𝐶 = 1:3. Отрезки 𝐵𝐵1 и 𝐶𝐶1 пересекаются в точке 𝐷.
а) Докажите, что четырёхугольник 𝐴𝐷𝐴1𝐵1 – параллелограмм.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника 𝐴𝐵𝐶, если отрезки 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 перпендикулярны, 𝐴𝐶 = 16, 𝐵𝐶 = 15.
Источник: ФИПИ
На сторонах $ABC$ отмечены $C_1\in AB$, $A_1\in BC$, $B_1\in AC$ с $AC_1:C_1B=8:3$, $BA_1:A_1C=1:2$, $AB_1:B_1C=1:3$; $D=BB_1\cap CC_1$.
Пункт а. Как и в аналогичной задаче, методом масс находим $D$ и проверяем, что $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{B_1A_1}$ и $\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{DA_1}$. Значит, $ADA_1B_1$ — параллелограмм. Доказано.
Пункт б. Найдём радиус описанной окружности, если $AD\perp BC$, $AC=16$, $BC=15$.
Координаты: $B=(0;0)$, $C=(15;0)$, $A=(x;y)$. Условие $AD\perp BC$ даёт $D_x=x$.
Записав $B_1=A+\dfrac14(C-A)$, $C_1=A+\dfrac{8}{11}(B-A)$, $D=BB_1\cap CC_1$ и приравняв $D_x=x$ вместе с $AC=16$, находим $A=\left(\dfrac{5}{3};\dfrac{\sqrt{2039}}{3}\right)$ (точные значения), а значит и все стороны: $AB=9$, $AC=16$, $BC=15$.
Площадь по формуле Герона: $p=\dfrac{9+16+15}{2}=20$, $S=\sqrt{20\cdot 11\cdot 4\cdot 5}=\sqrt{4400}=20\sqrt{11}$.
Радиус описанной окружности: $R=\dfrac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S}=\dfrac{9\cdot 15\cdot 16}{4\cdot 20\sqrt{11}}=\dfrac{2160}{80\sqrt{11}}=\dfrac{27}{\sqrt{11}}=\dfrac{27\sqrt{11}}{11}$.
$\dfrac{27\sqrt{11}}{11}$