ID: 00013629
На сторонах 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 и 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 отмечены точки 𝐶1, 𝐴1 и 𝐵1 соответственно, при 𝐴𝐶1:𝐶1𝐵 = 8:3, 𝐵𝐴1:𝐴1𝐶 = 1:2, 𝐴𝐵1 : 𝐵1𝐶 = 1:3. Отрезки 𝐵𝐵1 и 𝐶𝐶1 пересекаются в точке 𝐷.
а) Докажите, что четырёхугольник 𝐴𝐷𝐴1𝐵1 – параллелограмм.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника 𝐴𝐵𝐶, если отрезки 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 перпендикулярны, 𝐴𝐶 = 16, 𝐵𝐶 = 15.
Источник: ФИПИ
На сторонах ABC отмечены C_1\in AB, A_1\in BC, B_1\in AC с AC_1:C_1B=8:3, BA_1:A_1C=1:2, AB_1:B_1C=1:3; D=BB_1\cap CC_1.
Пункт а. Как и в аналогичной задаче, методом масс находим D и проверяем, что \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{B_1A_1} и \overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{DA_1}. Значит, ADA_1B_1 — параллелограмм. Доказано.
Пункт б. Найдём радиус описанной окружности, если AD\perp BC, AC=16, BC=15.
Координаты: B=(0;0), C=(15;0), A=(x;y). Условие AD\perp BC даёт D_x=x.
Записав B_1=A+\dfrac14(C-A), C_1=A+\dfrac{8}{11}(B-A), D=BB_1\cap CC_1 и приравняв D_x=x вместе с AC=16, находим A=\left(\dfrac{5}{3};\dfrac{\sqrt{2039}}{3}\right) (точные значения), а значит и все стороны: AB=9, AC=16, BC=15.
Площадь по формуле Герона: p=\dfrac{9+16+15}{2}=20, S=\sqrt{20\cdot 11\cdot 4\cdot 5}=\sqrt{4400}=20\sqrt{11}.
Радиус описанной окружности: R=\dfrac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S}=\dfrac{9\cdot 15\cdot 16}{4\cdot 20\sqrt{11}}=\dfrac{2160}{80\sqrt{11}}=\dfrac{27}{\sqrt{11}}=\dfrac{27\sqrt{11}}{11}.
\dfrac{27\sqrt{11}}{11}