Global EE

Задание 18 ЕГЭ по математике №00008936

Задание №18. Планиметрическая задача

Описанные окружности и треугольники

№2. Задание 18

ID: 00008936

На сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$, $A_1$ и $B_1$ соответственно, причём $AC_1 : C_1B = 8 : 3$, $BA_1 : A_1C = 1 : 2$, $AB_1 : B_1C = 1 : 3$. Отрезки $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $D$.

а) Докажите, что четырёхугольник $ADA_1B_1$ — параллелограмм.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если отрезки $AD$ и $BC$ перпендикулярны, $AC = 16$, $BC = 15$.

Источник: ФИПИ

Решение

На сторонах $ABC$ отмечены $C_1\in AB$, $A_1\in BC$, $B_1\in AC$ с $AC_1:C_1B=8:3$, $BA_1:A_1C=1:2$, $AB_1:B_1C=1:3$; $D=BB_1\cap CC_1$.

Пункт а. Как и в аналогичной задаче, методом масс находим $D$ и проверяем, что $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{B_1A_1}$ и $\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{DA_1}$. Значит, $ADA_1B_1$ — параллелограмм. Доказано.

Пункт б. Найдём радиус описанной окружности, если $AD\perp BC$, $AC=16$, $BC=15$.

Координаты: $B=(0;0)$, $C=(15;0)$, $A=(x;y)$. Условие $AD\perp BC$ даёт $D_x=x$.

Записав $B_1=A+\dfrac14(C-A)$, $C_1=A+\dfrac{8}{11}(B-A)$, $D=BB_1\cap CC_1$ и приравняв $D_x=x$ вместе с $AC=16$, находим $A=\left(\dfrac{5}{3};\dfrac{\sqrt{2039}}{3}\right)$ (точные значения), а значит и все стороны: $AB=9$, $AC=16$, $BC=15$.

Площадь по формуле Герона: $p=\dfrac{9+16+15}{2}=20$, $S=\sqrt{20\cdot 11\cdot 4\cdot 5}=\sqrt{4400}=20\sqrt{11}$.

Радиус описанной окружности: $R=\dfrac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S}=\dfrac{9\cdot 15\cdot 16}{4\cdot 20\sqrt{11}}=\dfrac{2160}{80\sqrt{11}}=\dfrac{27}{\sqrt{11}}=\dfrac{27\sqrt{11}}{11}$.

Ответ

$\dfrac{27\sqrt{11}}{11}$

Видеоразбор

Другие задания по теме «Описанные окружности и треугольники» (8)