Задание 18 ЕГЭ по математике №00028797

Разберёмся с чертежом. В треугольнике $ABC$ на каждой стороне отмечено по точке: $C_1$ на стороне $AB$, $A_1$ на стороне $BC$, $B_1$ на стороне $AC$. Отношения заданы так: $AC_1:C_1B=8:3$, $BA_1:A_1C=1:2$, $AB_1:B_1C=1:3$. Затем проведены два отрезка — $BB_1$ и $CC_1$; они пересекаются в точке $D$.

Чтобы работать с числами, введём удобную мерку: пусть $AC_1=8u$ и $C_1B=3u$, тогда вся сторона $AB=11u$.

Пункт а. Докажем, что четырёхугольник $ADA_1B_1$ — параллелограмм.

План такой: покажем, что стороны $DA_1$ и $AB_1$ параллельны и равны. Этого достаточно: если у четырёхугольника две противоположные стороны параллельны и равны, то это параллелограмм.

Сначала выясним, в каком отношении точка $D$ делит отрезок $BB_1$. Для этого проведём вспомогательную прямую: через точку $B_1$ проведём прямую, параллельную $CC_1$, и обозначим через $K$ точку её пересечения со стороной $AB$.

Посмотрим на треугольник $ACC_1$. В нём точка $B_1$ лежит на стороне $AC$, точка $K$ — на стороне $AC_1$, и $B_1K\parallel CC_1$. По теореме о пропорциональных отрезках (теорема Фалеса) $\dfrac{AK}{AC_1}=\dfrac{AB_1}{AC}$.

Из условия $AB_1:B_1C=1:3$ следует, что $AB_1$ составляет четверть всей стороны: $\dfrac{AB_1}{AC}=\dfrac14$. Значит, $AK=\dfrac{AC_1}{4}=\dfrac{8u}{4}=2u$.

Тогда $KB=AB-AK=11u-2u=9u$, а $BC_1=3u$.

Теперь треугольник $BB_1K$. В нём точка $D$ лежит на стороне $BB_1$, точка $C_1$ — на стороне $BK$, и $DC_1\parallel B_1K$ (ведь $DC_1$ лежит на прямой $CC_1$, параллельной $B_1K$ по построению). Снова по теореме о пропорциональных отрезках $\dfrac{BD}{BB_1}=\dfrac{BC_1}{BK}=\dfrac{3u}{9u}=\dfrac13$.

Перейдём к треугольнику $BB_1C$. В нём точка $D$ лежит на стороне $BB_1$, причём $\dfrac{BD}{BB_1}=\dfrac13$, и точка $A_1$ лежит на стороне $BC$, причём из условия $BA_1:A_1C=1:2$ получаем $\dfrac{BA_1}{BC}=\dfrac13$.

Отрезки от вершины $B$ отсечены в одинаковом отношении, значит, по обратной теореме о пропорциональных отрезках $DA_1\parallel B_1C$ и $DA_1=\dfrac13 B_1C$.

Прямая $B_1C$ — это часть стороны $AC$, поэтому $DA_1\parallel AC$, а значит, $DA_1\parallel AB_1$.

Осталось сравнить длины. Из $AB_1:B_1C=1:3$ следует $B_1C=\dfrac34 AC$, поэтому $DA_1=\dfrac13\cdot\dfrac34 AC=\dfrac14 AC$. Но и $AB_1=\dfrac14 AC$.

Итак, $DA_1\parallel AB_1$ и $DA_1=AB_1$. В четырёхугольнике $ADA_1B_1$ это пара противоположных сторон, значит, он параллелограмм. Доказано.

Пункт б. Найдём радиус описанной окружности при $AD\perp BC$, $AC=16$, $BC=15$.

В параллелограмме $ADA_1B_1$ сторона $AD$ противоположна стороне $B_1A_1$, поэтому $AD\parallel B_1A_1$. Раз $AD\perp BC$, то и $B_1A_1\perp BC$.

Это очень удобно: треугольник $CA_1B_1$ оказывается прямоугольным с прямым углом при вершине $A_1$ (точка $A_1$ лежит на прямой $BC$).

Посчитаем его катет и гипотенузу. Из $BA_1:A_1C=1:2$ следует, что $A_1C$ составляет две трети стороны $BC$: $CA_1=\dfrac23\cdot 15=10$. Из $AB_1:B_1C=1:3$ следует, что $B_1C$ составляет три четверти стороны $AC$: $CB_1=\dfrac34\cdot 16=12$.

В прямоугольном треугольнике $CA_1B_1$ угол при вершине $C$ — это угол $\angle ACB$ исходного треугольника. Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $\cos\angle ACB=\dfrac{CA_1}{CB_1}=\dfrac{10}{12}=\dfrac56$.

Тогда $\sin\angle ACB=\sqrt{1-\left(\dfrac56\right)^2}=\sqrt{1-\dfrac{25}{36}}=\sqrt{\dfrac{11}{36}}=\dfrac{\sqrt{11}}{6}$.

Найдём сторону $AB$ по теореме косинусов: $AB^2=CA^2+CB^2-2\cdot CA\cdot CB\cdot\cos\angle ACB$.

Подставляем: $AB^2=16^2+15^2-2\cdot 16\cdot 15\cdot\dfrac56=256+225-400=81$, значит, $AB=9$.

Теперь радиус описанной окружности по теореме синусов: $\dfrac{AB}{\sin\angle ACB}=2R$, ведь сторона $AB$ лежит против угла $C$.

Получаем $2R=\dfrac{9}{\dfrac{\sqrt{11}}{6}}=\dfrac{54}{\sqrt{11}}$, откуда $R=\dfrac{27}{\sqrt{11}}=\dfrac{27\sqrt{11}}{11}$.

Проверим себя: $\sqrt{11}\approx 3{,}32$, поэтому $R\approx 8{,}1$. Радиус описанной окружности не может быть меньше половины наибольшей стороны, то есть меньше $\dfrac{16}{2}=8$, — и он действительно чуть больше восьми.