Задание 17 ЕГЭ по математике: На сторонах AB , BC и AC треугольника ABC отмечены точки C…

Разберёмся с чертежом. В треугольнике ABC на каждой стороне отмечено по точке: C_1 на стороне AB, A_1 на стороне BC, B_1 на стороне AC. Отношения заданы так: AC_1:C_1B=8:3, BA_1:A_1C=1:2, AB_1:B_1C=1:3. Затем проведены два отрезка — BB_1 и CC_1; они пересекаются в точке D.

Чтобы работать с числами, введём удобную мерку: пусть AC_1=8u и C_1B=3u, тогда вся сторона AB=11u.

Пункт а. Докажем, что четырёхугольник ADA_1B_1 — параллелограмм.

План такой: покажем, что стороны DA_1 и AB_1 параллельны и равны. Этого достаточно: если у четырёхугольника две противоположные стороны параллельны и равны, то это параллелограмм.

Сначала выясним, в каком отношении точка D делит отрезок BB_1. Для этого проведём вспомогательную прямую: через точку B_1 проведём прямую, параллельную CC_1, и обозначим через K точку её пересечения со стороной AB.

Посмотрим на треугольник ACC_1. В нём точка B_1 лежит на стороне AC, точка K — на стороне AC_1, и B_1K\parallel CC_1. По теореме о пропорциональных отрезках (теорема Фалеса) \dfrac{AK}{AC_1}=\dfrac{AB_1}{AC}.

Из условия AB_1:B_1C=1:3 следует, что AB_1 составляет четверть всей стороны: \dfrac{AB_1}{AC}=\dfrac14. Значит, AK=\dfrac{AC_1}{4}=\dfrac{8u}{4}=2u.

Тогда KB=AB-AK=11u-2u=9u, а BC_1=3u.

Теперь треугольник BB_1K. В нём точка D лежит на стороне BB_1, точка C_1 — на стороне BK, и DC_1\parallel B_1K (ведь DC_1 лежит на прямой CC_1, параллельной B_1K по построению). Снова по теореме о пропорциональных отрезках \dfrac{BD}{BB_1}=\dfrac{BC_1}{BK}=\dfrac{3u}{9u}=\dfrac13.

Перейдём к треугольнику BB_1C. В нём точка D лежит на стороне BB_1, причём \dfrac{BD}{BB_1}=\dfrac13, и точка A_1 лежит на стороне BC, причём из условия BA_1:A_1C=1:2 получаем \dfrac{BA_1}{BC}=\dfrac13.

Отрезки от вершины B отсечены в одинаковом отношении, значит, по обратной теореме о пропорциональных отрезках DA_1\parallel B_1C и DA_1=\dfrac13 B_1C.

Прямая B_1C — это часть стороны AC, поэтому DA_1\parallel AC, а значит, DA_1\parallel AB_1.

Осталось сравнить длины. Из AB_1:B_1C=1:3 следует B_1C=\dfrac34 AC, поэтому DA_1=\dfrac13\cdot\dfrac34 AC=\dfrac14 AC. Но и AB_1=\dfrac14 AC.

Итак, DA_1\parallel AB_1 и DA_1=AB_1. В четырёхугольнике ADA_1B_1 это пара противоположных сторон, значит, он параллелограмм. Доказано.

Пункт б. Найдём радиус описанной окружности при AD\perp BC, AC=16, BC=15.

В параллелограмме ADA_1B_1 сторона AD противоположна стороне B_1A_1, поэтому AD\parallel B_1A_1. Раз AD\perp BC, то и B_1A_1\perp BC.

Это очень удобно: треугольник CA_1B_1 оказывается прямоугольным с прямым углом при вершине A_1 (точка A_1 лежит на прямой BC).

Посчитаем его катет и гипотенузу. Из BA_1:A_1C=1:2 следует, что A_1C составляет две трети стороны BC: CA_1=\dfrac23\cdot 15=10. Из AB_1:B_1C=1:3 следует, что B_1C составляет три четверти стороны AC: CB_1=\dfrac34\cdot 16=12.

В прямоугольном треугольнике CA_1B_1 угол при вершине C — это угол \angle ACB исходного треугольника. Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: \cos\angle ACB=\dfrac{CA_1}{CB_1}=\dfrac{10}{12}=\dfrac56.

Тогда \sin\angle ACB=\sqrt{1-\left(\dfrac56\right)^2}=\sqrt{1-\dfrac{25}{36}}=\sqrt{\dfrac{11}{36}}=\dfrac{\sqrt{11}}{6}.

Найдём сторону AB по теореме косинусов: AB^2=CA^2+CB^2-2\cdot CA\cdot CB\cdot\cos\angle ACB.

Подставляем: AB^2=16^2+15^2-2\cdot 16\cdot 15\cdot\dfrac56=256+225-400=81, значит, AB=9.

Теперь радиус описанной окружности по теореме синусов: \dfrac{AB}{\sin\angle ACB}=2R, ведь сторона AB лежит против угла C.

Получаем 2R=\dfrac{9}{\dfrac{\sqrt{11}}{6}}=\dfrac{54}{\sqrt{11}}, откуда R=\dfrac{27}{\sqrt{11}}=\dfrac{27\sqrt{11}}{11}.

Проверим себя: \sqrt{11}\approx 3{,}32, поэтому R\approx 8{,}1. Радиус описанной окружности не может быть меньше половины наибольшей стороны, то есть меньше \dfrac{16}{2}=8, — и он действительно чуть больше восьми.