Задание 18 ЕГЭ по математике №00041815

Треугольник остроугольный, поэтому основания всех высот лежат на сторонах: $H$ — на $BC$, $N$ — на $AC$, $K$ — на $AB$. Идея задачи: углы при основании высоты $N$ выражаются через угол $B$, а это сразу даёт величину угла $B$.

Пункт а. Докажем, что $\angle ABC=60^{\circ}$.

Углы $BKC$ и $BNC$ прямые и опираются на отрезок $BC$. Значит, точки $K$ и $N$ лежат на окружности с диаметром $BC$, и четырёхугольник $BKNC$ вписанный.

У вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$: $\angle KBC+\angle KNC=180^{\circ}$. Угол $ANK$ — смежный с углом $KNC$, поэтому

$$\angle ANK=180^{\circ}-\angle KNC=\angle KBC=\angle ABC.$$

Точно так же углы $AHB$ и $ANB$ прямые и опираются на $AB$, поэтому четырёхугольник $ABHN$ вписан в окружность с диаметром $AB$. Отсюда $\angle ABH+\angle ANH=180^{\circ}$, и смежный угол

$$\angle CNH=180^{\circ}-\angle ANH=\angle ABH=\angle ABC.$$

Точка $N$ лежит на отрезке $AC$, поэтому три угла $ANK$, $KNH$ и $HNC$ в сумме составляют развёрнутый угол:

$$\angle ABC+60^{\circ}+\angle ABC=180^{\circ}\ \Rightarrow\ \angle ABC=60^{\circ}.$$

Доказано.

Пункт б. Найдём радиус описанной окружности.

Треугольник $ABH$ прямоугольный (угол $H$ прямой). Катет $BH$ прилежит к углу $B=60^{\circ}$, поэтому $BH=AB\cos 60^{\circ}=\dfrac{AB}{2}$. Отсюда $AB=2\cdot BH=2\cdot 2=4$.

Точка $K$ лежит на стороне $AB$, поэтому $BK=AB-AK=4-1=3$.

Треугольник $BKC$ прямоугольный (угол $K$ прямой), и катет $BK$ прилежит к углу $60^{\circ}$: $BK=BC\cos 60^{\circ}=\dfrac{BC}{2}$. Отсюда $BC=2\cdot 3=6$.

Третью сторону найдём по теореме косинусов:

$$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos 60^{\circ}=16+36-2\cdot 4\cdot 6\cdot\dfrac12=28,$$

значит, $AC=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$.

По теореме синусов $\dfrac{AC}{\sin B}=2R$, откуда

$$R=\dfrac{AC}{2\sin 60^{\circ}}=\dfrac{2\sqrt{7}}{2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{21}}{3}.$$

Проверим себя: треугольник со сторонами $4$, $6$ и $2\sqrt{7}\approx 5{,}29$ действительно остроугольный — квадрат наибольшей стороны $36$ меньше суммы квадратов двух других $16+28=44$. Значит, высоты расположены так, как мы предполагали, и $R\approx 3{,}06$.