Задание 18 ЕГЭ по математике №00042518

Пункт а. Докажу, что такой треугольник существует.

Чтобы доказать существование, достаточно предъявить один такой треугольник.

Идея. По теореме синусов $a=2R\sin\alpha$, то есть $R=\dfrac{a}{2\sin\alpha}$. Если угол против стороны $a$ почти развёрнутый, его синус очень мал, и радиус получается огромным даже при короткой стороне. Значит, нужен сильно «сплющенный» тупоугольный треугольник.

Построение. Возьму окружность радиуса $101$ и точку $A$ на ней. По разные стороны от $A$ отмечу на окружности точки $B$ и $C$ так, что хорды $AB=AC=\dfrac12$ (такие хорды есть, ведь $\dfrac12$ меньше диаметра $202$).

Треугольник $ABC$ вписан в эту окружность, поэтому радиус его описанной окружности равен $101\gt100$.

Стороны: $AB=AC=\dfrac12\lt1$, а по неравенству треугольника $BC\lt AB+AC=1$. Треугольник невырожденный: три различные точки окружности не лежат на одной прямой.

Итак, у треугольника $ABC$ все стороны меньше $1$, а радиус описанной окружности больше $100$. Что и требовалось доказать.

Проверка числом. Хорда $AB=\dfrac12$ видна из центра под углом $\varphi$, где $\sin\dfrac{\varphi}{2}=\dfrac{1/2}{2\cdot101}=\dfrac{1}{404}$. Вписанный угол $BAC$ равен $180^\circ-\varphi$ — почти развёрнутый. По теореме синусов $BC=2\cdot101\cdot\sin\varphi=404\sin\dfrac{\varphi}{2}\cos\dfrac{\varphi}{2}=\cos\dfrac{\varphi}{2}\lt1$.

Пункт б. Найду радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами $0{,}5$; $0{,}5$; $0{,}96$.

Пусть $AB=AC=0{,}5$, $BC=0{,}96$, и $AH$ — высота к основанию. В равнобедренном треугольнике она же медиана: $BH=0{,}48$. По теореме Пифагора

$$AH=\sqrt{0{,}25-0{,}2304}=\sqrt{0{,}0196}=0{,}14.$$

Центр $O$ описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к $BC$, то есть на прямой $AH$, и $OA=OB=R$. Угол $A$ тупой ($0{,}96^2=0{,}9216\gt0{,}5^2+0{,}5^2=0{,}5$), поэтому центр лежит за основанием, на продолжении $AH$ за точку $H$, и $OH=R-0{,}14$.

Из прямоугольного треугольника $OHB$:

$$R^2=(R-0{,}14)^2+0{,}48^2.$$

Раскрываю скобки: $0=-0{,}28R+0{,}0196+0{,}2304$, то есть $0{,}28R=0{,}25$ и

$$R=\dfrac{0{,}25}{0{,}28}=\dfrac{25}{28}.$$

Проверю формулой $R=\dfrac{abc}{4S}$. Площадь $S=\dfrac12\cdot0{,}96\cdot0{,}14=0{,}0672$, произведение сторон $0{,}5\cdot0{,}5\cdot0{,}96=0{,}24$, и $R=\dfrac{0{,}24}{4\cdot0{,}0672}=\dfrac{0{,}24}{0{,}2688}=\dfrac{25}{28}$. Совпало. Радиус больше половины наибольшей стороны ($\dfrac{25}{28}\approx0{,}89\gt0{,}48$), как и должно быть для хорды и диаметра.