Задание 18 ЕГЭ по математике №00042182

Сначала разберёмся с картинкой. $O$ — центр окружности, описанной около $ABC$, так что $OA=OB=OC=R$. Точка $K$ лежит на продолжении отрезка $AO$ за точку $O$, поэтому лучи $KO$ и $KA$ совпадают и $\angle OKC=\angle AKC$.

Пункт а. Докажем, что четырёхугольник $OBKC$ можно вписать в окружность.

Пусть $\angle BAC=\alpha$. Угол $BAC$ вписанный и опирается на дугу $BC$; центральный угол $BOC$ опирается на ту же дугу (центр остроугольного треугольника лежит внутри него), поэтому $\angle BOC=2\alpha$.

В треугольнике $BOC$ стороны $OB$ и $OC$ равны как радиусы. Сумма углов треугольника $180^\circ$, углы при основании равны, значит,

$$\angle OBC=\dfrac{180^\circ-2\alpha}{2}=90^\circ-\alpha.$$

Из условия $\angle AKC=90^\circ-\alpha$, то есть $\angle OKC=\angle OBC$.

Точки $B$ и $K$ лежат по одну сторону от прямой $OC$. Действительно, прямая $CO$ проходит через точку $C_1$, диаметрально противоположную $C$; она лежит на дуге $AB$, не содержащей $C$, поэтому прямая $OC$ отделяет $A$ от $B$. А точка $K$ лежит на продолжении $AO$ за точку $O$ — по другую сторону от $OC$, чем $A$, то есть с той же стороны, что и $B$.

Отрезок $OC$ виден из точек $B$ и $K$, лежащих по одну сторону от него, под равными углами. Следовательно, $O$, $B$, $K$, $C$ лежат на одной окружности, и четырёхугольник $OBKC$ вписанный. Доказано.

Пункт б. Найдём $R$, если радиус окружности $KBC$ равен 34, а $\cos\angle BAC=\dfrac{8}{17}$.

По пункту а окружность $KBC$ — это окружность, на которой лежат все четыре точки $O$, $B$, $K$, $C$. Её радиус $\rho=34$.

Найдём синус угла $BAC$. Угол острый, поэтому синус положительный:

$$\sin\alpha=\sqrt{1-\dfrac{64}{289}}=\sqrt{\dfrac{225}{289}}=\dfrac{15}{17}.$$

Хорда $BC$ общая для двух окружностей. В окружности $OBKC$ она видна из точки $O$ под углом $BOC=2\alpha$. По теореме синусов для треугольника $BOC$:

$$BC=2\rho\sin2\alpha=2\cdot34\cdot2\cdot\dfrac{15}{17}\cdot\dfrac{8}{17}=\dfrac{68\cdot240}{289}=\dfrac{960}{17}.$$

В окружности $ABC$ та же хорда видна из вершины $A$ под углом $\alpha$. По теореме синусов для треугольника $ABC$:

$$R=\dfrac{BC}{2\sin\alpha}=\dfrac{960}{17}:\dfrac{30}{17}=\dfrac{960}{30}=32.$$

Проверим себя другим путём. Хорда $OB$ окружности $OBKC$ видна из точки $C$ под углом $\angle OCB=90^\circ-\alpha$, поэтому $OB=2\rho\sin(90^\circ-\alpha)=2\rho\cos\alpha=2\cdot34\cdot\dfrac{8}{17}=32$. А $OB=R$. Совпало.