Показательны… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022291

ОДЗ — три условия. Первое: $\dfrac{1}{x}+2>0$, то есть $\dfrac{2x+1}{x}>0$, откуда $x<-\dfrac{1}{2}$ или $x>0$. Второе: $x+5>0$, то есть $x>-5$. Третье: $\dfrac{x+4}{x^2}>0$, то есть $x>-4$ и $x\ne 0$. Пересекаем все три: $\left(-4;\,-\dfrac{1}{2}\right)\cup(0;\,+\infty)$.

Сворачиваем левую часть в один логарифм: $\log_3\dfrac{2x+1}{x(x+5)}\ge\log_3\dfrac{x+4}{x^2}$. Основание $3>1$, логарифм возрастает — переходим к аргументам: $\dfrac{2x+1}{x(x+5)}\ge\dfrac{x+4}{x^2}$.

Ни в коем случае не умножаем на выражения с неизвестным знаком — переносим и приводим к общему знаменателю $x^2(x+5)$: $\dfrac{x(2x+1)-(x+4)(x+5)}{x^2(x+5)}\ge 0$. Считаем числитель: $2x^2+x-\left(x^2+9x+20\right)=x^2-8x-20=(x-10)(x+2)$.

Теперь ключевая экономия: на ОДЗ всегда $x>-4$, значит $x+5>0$, и $x^2>0$ — весь знаменатель положителен. Знак дроби определяет только числитель: $(x-10)(x+2)\ge 0$, откуда $x\le-2$ или $x\ge 10$.

Пересекаем с ОДЗ $\left(-4;\,-\dfrac{1}{2}\right)\cup(0;\,+\infty)$: из $x\le-2$ выживает $(-4;\,-2]$, из $x\ge 10$ — весь луч $[10;\,+\infty)$. Проверка граничной точки $x=-2$: слева $\log_3\dfrac{3}{2}-\log_3 3=\log_3\dfrac{1}{2}$, справа $\log_3\dfrac{2}{4}=\log_3\dfrac{1}{2}$ — равенство, точка входит. И $x=10$: слева $\log_3\dfrac{21}{10}-\log_3 15=\log_3\dfrac{7}{50}$, справа $\log_3\dfrac{14}{100}=\log_3\dfrac{7}{50}$ — тоже равенство. Всё сходится.