ОДЗ — три условия. Первое: \dfrac{1}{x}+2>0, то есть \dfrac{2x+1}{x}>0, откуда x<-\dfrac{1}{2} или x>0. Второе: x+5>0, то есть x>-5. Третье: \dfrac{x+4}{x^2}>0, то есть x>-4 и x\ne 0. Пересекаем все три: \left(-4;\,-\dfrac{1}{2}\right)\cup(0;\,+\infty).

Сворачиваем левую часть в один логарифм: \log_3\dfrac{2x+1}{x(x+5)}\ge\log_3\dfrac{x+4}{x^2}. Основание 3>1, логарифм возрастает — переходим к аргументам: \dfrac{2x+1}{x(x+5)}\ge\dfrac{x+4}{x^2}.

Ни в коем случае не умножаем на выражения с неизвестным знаком — переносим и приводим к общему знаменателю x^2(x+5): \dfrac{x(2x+1)-(x+4)(x+5)}{x^2(x+5)}\ge 0. Считаем числитель: 2x^2+x-\left(x^2+9x+20\right)=x^2-8x-20=(x-10)(x+2).

Теперь ключевая экономия: на ОДЗ всегда x>-4, значит x+5>0, и x^2>0 — весь знаменатель положителен. Знак дроби определяет только числитель: (x-10)(x+2)\ge 0, откуда x\le-2 или x\ge 10.

Пересекаем с ОДЗ \left(-4;\,-\dfrac{1}{2}\right)\cup(0;\,+\infty): из x\le-2 выживает (-4;\,-2], из x\ge 10 — весь луч [10;\,+\infty). Проверка граничной точки x=-2: слева \log_3\dfrac{3}{2}-\log_3 3=\log_3\dfrac{1}{2}, справа \log_3\dfrac{2}{4}=\log_3\dfrac{1}{2} — равенство, точка входит. И x=10: слева \log_3\dfrac{21}{10}-\log_3 15=\log_3\dfrac{7}{50}, справа \log_3\dfrac{14}{100}=\log_3\dfrac{7}{50} — тоже равенство. Всё сходится.