Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043683

Слева квадрат логарифма по основанию $4$, справа — логарифм того же выражения по основанию $\dfrac{1}{16}$. Основания родственные: $\dfrac1{16}=4^{-2}$. Значит, всё можно записать через один логарифм.

Пункт а. ОДЗ: логарифм берётся только от положительного числа, поэтому $\cos 2x\gt 0$.

Переход к основанию $4$: по свойству $\log_{a^{k}}b=\dfrac1k\log_a b$ при $k=-2$

$$\log_{\frac{1}{16}}(\cos 2x)=\log_{4^{-2}}(\cos 2x)=-\dfrac12\log_4(\cos 2x).$$

Проверим знак: при $0\lt\cos 2x\lt 1$ логарифм по основанию $4$ отрицателен, а по основанию $\dfrac1{16}$ — положителен; множитель $-\dfrac12$ это и обеспечивает.

Обозначим $w=\log_4(\cos 2x)$. Уравнение: $w^{2}=-\dfrac12w$, то есть

$$w^{2}+\dfrac12w=0\quad\Leftrightarrow\quad w\left(w+\dfrac12\right)=0.$$

Делить на $w$ нельзя — значение $w=0$ тоже решение. Получаем $w=0$ или $w=-\dfrac12$.

$w=0$: $\cos 2x=4^{0}=1$. Тогда $2x=2\pi k$ и $x=\pi k$.

$w=-\dfrac12$: $\cos 2x=4^{-\frac12}=\dfrac{1}{\sqrt4}=\dfrac12$. Тогда $2x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$, и после деления на $2$ (вместе с периодом) $x=\pm\dfrac{\pi}{6}+\pi k$.

Оба значения $\cos 2x$ — $1$ и $\dfrac12$ — положительны, ОДЗ выполнена. $k\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отрезок $\left[3\pi;\,\dfrac{9\pi}{2}\right]$ в шестых долях $\pi$: $\left[\dfrac{18\pi}{6};\,\dfrac{27\pi}{6}\right]$. Все серии имеют шаг $\pi=\dfrac{6\pi}{6}$.

Серия $\pi k=\dfrac{6k\pi}{6}$: $18\leqslant 6k\leqslant 27$, то есть $3\leqslant k\leqslant 4{,}5$. Подходят $k=3,4$: $3\pi$ и $4\pi$.

Серия $\dfrac{\pi}{6}+\pi k=\dfrac{(1+6k)\pi}{6}$: $17\leqslant 6k\leqslant 26$, подходят $k=3,4$: $\dfrac{19\pi}{6}$ и $\dfrac{25\pi}{6}$.

Серия $-\dfrac{\pi}{6}+\pi k=\dfrac{(-1+6k)\pi}{6}$: $19\leqslant 6k\leqslant 28$, подходит $k=4$: $\dfrac{23\pi}{6}$ ($k=3$ даёт $\dfrac{17\pi}{6}$ — левее отрезка, $k=5$ даёт $\dfrac{29\pi}{6}$ — правее).

Проверим $x=\dfrac{23\pi}{6}$: $2x=\dfrac{23\pi}{3}=8\pi-\dfrac{\pi}{3}$, поэтому $\cos 2x=\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac12$. Слева $\left(\log_4\dfrac12\right)^{2}=\left(-\dfrac12\right)^{2}=\dfrac14$; справа $\log_{\frac1{16}}\dfrac12=\dfrac14$, потому что $\left(\dfrac1{16}\right)^{\frac14}=\dfrac12$. Совпало.