Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00013417

Сначала учтём область допустимых значений (ОДЗ) — значения $x$, при которых уравнение имеет смысл.

Аргумент логарифма $9^{x}=3^{2x}>0$ при любом $x$ — ограничений нет.

Пункт а. $\log_9(\dots)=x$ даёт $\dots=9^x=3^{2x}$; слагаемое $3^{2x}$ сократится:

$$5\sqrt2\sin x-6\cos^2 x-2=0$$

Заменим $\cos^2 x=1-\sin^2 x$ — квадратное по $\sin x$:

$$6\sin^2 x+5\sqrt2\sin x-8=0\;\Rightarrow\;\sin x=\tfrac{\sqrt2}{2}$$

Выпишем все серии корней:

$$\sin x=\tfrac{\sqrt2}{2}\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- 2 \pi;\,- \frac{\pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- 2 \pi;\,- \frac{\pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$- \frac{7 \pi}{4}, - \frac{5 \pi}{4}$$