Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00042105

Пункт а. Логарифм определён только при положительном аргументе:

$$0{,}3\sin x\gt0\quad\Leftrightarrow\quad\sin x\gt0.$$

Это верхняя половина единичной окружности без точек на оси абсцисс. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю и при этом выполнено условие $\sin x\gt0$.

Первый множитель. Заменим $\sin^2x=1-\cos^2x$:

$$-6\left(1-\cos^2x\right)-11\cos x+10=6\cos^2x-11\cos x+4=0.$$

Пусть $t=\cos x$: $6t^2-11t+4=0$, $D=121-96=25$, $t=\dfrac{11\pm5}{12}$, то есть $t=\dfrac43$ или $t=\dfrac12$.

Значение $\dfrac43$ больше единицы, косинус таким не бывает. Остаётся $\cos x=\dfrac12$: это точки $\dfrac{\pi}{3}$ и $-\dfrac{\pi}{3}$. Они симметричны относительно оси абсцисс, и синус положителен только в $\dfrac{\pi}{3}$. Получаем $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$.

Второй множитель. $\log_7\left(0{,}3\sin x\right)=0$ означает $0{,}3\sin x=1$, $\sin x=\dfrac{10}{3}\gt1$ — решений нет.

Итак, $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отбор корней. Переведём всё в шестые доли $\pi$: промежуток $\left[-\dfrac{5\pi}{2};-\pi\right]=\left[-\dfrac{15\pi}{6};-\dfrac{6\pi}{6}\right]$, а серия — $x=\dfrac{2\pi}{6}+\dfrac{12\pi n}{6}$.

При $n=-1$: $\dfrac{2\pi}{6}-\dfrac{12\pi}{6}=-\dfrac{10\pi}{6}=-\dfrac{5\pi}{3}$ — между $-\dfrac{15\pi}{6}$ и $-\dfrac{6\pi}{6}$, подходит. При $n=0$ получаем $\dfrac{2\pi}{6}$ — правее промежутка, при $n=-2$ получаем $-\dfrac{22\pi}{6}$ — левее.

Проверка: $-\dfrac{5\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}-2\pi$, значит $\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2}\gt0$, $\cos x=\dfrac12$. Первая скобка: $-6\cdot\dfrac34-11\cdot\dfrac12+10=-4{,}5-5{,}5+10=0$ — верно, и логарифм определён.