Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043682

В уравнении логарифмы от $\sin x$ и от $\sin^{2}x$, причём с разными основаниями — $2$ и $0{,}5$. План: найти, где логарифмы существуют, привести всё к одному логарифму $\log_2(\sin x)$ и решить квадратное уравнение.

Пункт а. Область определения. Логарифм существует только от положительного числа. Нужно $\sin x\gt 0$ и $\sin^{2}x\gt 0$. Первое условие сильнее: если $\sin x\gt 0$, то и $\sin^{2}x\gt 0$. Итак, ОДЗ: $\sin x\gt 0$.

Перейдём к основанию $2$. Так как $0{,}5=2^{-1}$, логарифм по основанию $0{,}5$ отличается от логарифма по основанию $2$ только знаком: $\log_{0{,}5}a=-\log_2 a$. Показатель степени под логарифмом выносим вперёд — это можно, потому что $\sin x\gt 0$:

$$\log_{0{,}5}\left(\sin^{2}x\right)=-\log_2\left(\sin^{2}x\right)=-2\log_2(\sin x).$$

Обозначим $y=\log_2(\sin x)$. Слагаемое $-3\log_{0{,}5}(\sin^{2}x)$ превращается в $-3\cdot(-2y)=6y$, и уравнение принимает вид

$$4y^{2}+6y+2=0\quad\Leftrightarrow\quad 2y^{2}+3y+1=0.$$

Дискриминант $D=9-8=1$, корни $y=\dfrac{-3+1}{4}=-\dfrac12$ и $y=\dfrac{-3-1}{4}=-1$.

Возвращаемся к синусу по определению логарифма: $\sin x=2^{y}$.

$y=-1$: $\sin x=2^{-1}=\dfrac12$. Это точки $\dfrac{\pi}{6}$ и $\dfrac{5\pi}{6}$: $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$, $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$.

$y=-\dfrac12$: $\sin x=2^{-\frac12}=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$. Это точки $\dfrac{\pi}{4}$ и $\dfrac{3\pi}{4}$: $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$, $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k$.

Оба значения синуса положительны, ОДЗ выполнена. $k\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отрезок $\left[-\dfrac{7\pi}{2};\,-2\pi\right]$. Его левый конец $-\dfrac{7\pi}{2}=-4\pi+\dfrac{\pi}{2}$ на окружности — верхняя точка, правый $-2\pi$ — правая точка. Дуга идёт против часовой стрелки через II, III и IV четверти.

Синус положителен только во II четверти, то есть на куске от $-\dfrac{7\pi}{2}$ до $-3\pi$. Только там и могут быть корни.

Все четыре серии в этом куске: точки окружности II четверти — это $\dfrac{5\pi}{6}$ и $\dfrac{3\pi}{4}$, сдвинутые на $-4\pi$:

$$\dfrac{3\pi}{4}-4\pi=\dfrac{3\pi-16\pi}{4}=-\dfrac{13\pi}{4},\qquad \dfrac{5\pi}{6}-4\pi=\dfrac{5\pi-24\pi}{6}=-\dfrac{19\pi}{6}.$$

Обе лежат между $-\dfrac{7\pi}{2}=-3{,}5\pi$ и $-3\pi$: $-\dfrac{13\pi}{4}=-3{,}25\pi$, $-\dfrac{19\pi}{6}\approx-3{,}17\pi$. Точки I четверти ($\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$ со сдвигами) на эту дугу не попадают: $\dfrac{\pi}{4}-4\pi=-3{,}75\pi$ левее отрезка, а $\dfrac{\pi}{4}-2\pi=-1{,}75\pi$ правее; то же для $\dfrac{\pi}{6}$.

Проверим $x=-\dfrac{19\pi}{6}$: это та же точка, что $\dfrac{5\pi}{6}$, $\sin x=\dfrac12$, $\log_2\dfrac12=-1$. Слева: $4\cdot(-1)^{2}-3\log_{0{,}5}\dfrac14+2=4-3\cdot2+2=0$. Верно.