Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00004391

Сначала учтём область допустимых значений (ОДЗ) — значения $x$, при которых уравнение имеет смысл.

Аргумент логарифма положителен: $\sin x>0$.

Знаменатель не равен нулю: $2\cos x+\sqrt3\neq0$, то есть $\cos x\neq-\tfrac{\sqrt3}{2}$.

Пункт а. Дробь равна нулю при нулевом числителе (и ОДЗ). Замена $u=\log_2(\sin x)$:

$$u(u+1)=0,\ u=0\ \text{или}\ u=-1$$

Обратно: $\sin x=1$ или $\sin x=\tfrac12$. Корень с $\cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}$ отбрасываем по ОДЗ.

Выпишем все серии корней:

$$\sin x=1\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\sin x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\ \ (x=\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n\ \text{отброшен: }\cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2})$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[0;\,\frac{3 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[0;\,\frac{3 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}$$