Тригонометри… — Задание 13 ЕГЭ по математике №00028766

Слева логарифм по основанию $9$, справа просто $x$. Это классическая ситуация: равенство $\log_{9}A=x$ означает, что $A=9^{x}$ (и при этом $A\gt 0$ — иначе логарифма бы не существовало). Такое переписывание и есть определение логарифма: логарифм — это показатель, в который надо возвести основание.

Заметим важную деталь: $9^{x}=(3^{2})^{x}=3^{2x}$. А выражение $3^{2x}$ уже стоит внутри логарифма — значит после перехода эти куски сократятся.

Записываем равенство аргумента и степени:

$$3^{2x}+5\sqrt{2}\sin x-6\cos^{2}x-2=3^{2x}.$$

Вычитаем $3^{2x}$ из обеих частей, и показательная часть исчезает полностью:

$$5\sqrt{2}\sin x-6\cos^{2}x-2=0.$$

Осталось обычное тригонометрическое уравнение. Приведём его к одной функции: по основному тригонометрическому тождеству $\cos^{2}x=1-\sin^{2}x$.

Подставляем: $5\sqrt{2}\sin x-6\left(1-\sin^{2}x\right)-2=0$, то есть $5\sqrt{2}\sin x-6+6\sin^{2}x-2=0$, и после приведения подобных

$$6\sin^{2}x+5\sqrt{2}\sin x-8=0.$$

Делаем замену $s=\sin x$, помня ограничение: синус принимает значения только из отрезка $[-1;1]$.

Считаем дискриминант: $D=\left(5\sqrt{2}\right)^{2}-4\cdot 6\cdot(-8)=25\cdot 2+192=50+192=242$. Извлекаем корень: $242=121\cdot 2$, поэтому $\sqrt{242}=11\sqrt{2}$.

Корни: $s_{1}=\dfrac{-5\sqrt{2}+11\sqrt{2}}{12}=\dfrac{6\sqrt{2}}{12}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ и $s_{2}=\dfrac{-5\sqrt{2}-11\sqrt{2}}{12}=\dfrac{-16\sqrt{2}}{12}=-\dfrac{4\sqrt{2}}{3}$.

Второй корень отбрасываем: $\dfrac{4\sqrt{2}}{3}\approx \dfrac{5{,}66}{3}\approx 1{,}89$, а синус меньше $-1$ быть не может.

Остаётся $\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Это табличное значение, ему отвечают две серии: $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ и $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Отдельно отметим, что проверять положительность выражения под логарифмом не нужно: после преобразования оно равно $3^{2x}$, а степень с положительным основанием всегда положительна.

Переходим к пункту б: отбираем корни на отрезке $\left[-2\pi;-\dfrac{\pi}{2}\right]$. Переведём всё в четверти $\pi$: левый конец $-2\pi=-\dfrac{8\pi}{4}$, правый конец $-\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{2\pi}{4}$. Подходят корни с числителем от $-8$ до $-2$ включительно.

Серия $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ в четвертях — это $\dfrac{(1+8n)\pi}{4}$: при $n=0$ числитель $1$ — положительный, вне отрезка; при $n=-1$ числитель $1-8=-7$, то есть $x=-\dfrac{7\pi}{4}$ — попадает; при $n=-2$ числитель $-15$ — далеко влево.

Серия $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$ в четвертях — это $\dfrac{(3+8n)\pi}{4}$: при $n=-1$ числитель $3-8=-5$, то есть $x=-\dfrac{5\pi}{4}$ — попадает; при $n=-2$ числитель $-13$ — вне.

Отобранные корни по возрастанию: $-\dfrac{7\pi}{4}$ и $-\dfrac{5\pi}{4}$.