Задание 13 ЕГЭ по математике: а) Решите уравнение log по основанию 9 левая круглая скобка 3 в…

Слева логарифм по основанию 9, справа просто x. Это классическая ситуация: равенство \log_{9}A=x означает, что A=9^{x} (и при этом A\gt 0 — иначе логарифма бы не существовало). Такое переписывание и есть определение логарифма: логарифм — это показатель, в который надо возвести основание.

Заметим важную деталь: 9^{x}=(3^{2})^{x}=3^{2x}. А выражение 3^{2x} уже стоит внутри логарифма — значит после перехода эти куски сократятся.

Записываем равенство аргумента и степени:

3^{2x}+5\sqrt{2}\sin x-6\cos^{2}x-2=3^{2x}.

Вычитаем 3^{2x} из обеих частей, и показательная часть исчезает полностью:

5\sqrt{2}\sin x-6\cos^{2}x-2=0.

Осталось обычное тригонометрическое уравнение. Приведём его к одной функции: по основному тригонометрическому тождеству \cos^{2}x=1-\sin^{2}x.

Подставляем: 5\sqrt{2}\sin x-6\left(1-\sin^{2}x\right)-2=0, то есть 5\sqrt{2}\sin x-6+6\sin^{2}x-2=0, и после приведения подобных

6\sin^{2}x+5\sqrt{2}\sin x-8=0.

Делаем замену s=\sin x, помня ограничение: синус принимает значения только из отрезка [-1;1].

Считаем дискриминант: D=\left(5\sqrt{2}\right)^{2}-4\cdot 6\cdot(-8)=25\cdot 2+192=50+192=242. Извлекаем корень: 242=121\cdot 2, поэтому \sqrt{242}=11\sqrt{2}.

Корни: s_{1}=\dfrac{-5\sqrt{2}+11\sqrt{2}}{12}=\dfrac{6\sqrt{2}}{12}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} и s_{2}=\dfrac{-5\sqrt{2}-11\sqrt{2}}{12}=\dfrac{-16\sqrt{2}}{12}=-\dfrac{4\sqrt{2}}{3}.

Второй корень отбрасываем: \dfrac{4\sqrt{2}}{3}\approx \dfrac{5{,}66}{3}\approx 1{,}89, а синус меньше -1 быть не может.

Остаётся \sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Это табличное значение, ему отвечают две серии: x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n и x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.

Отдельно отметим, что проверять положительность выражения под логарифмом не нужно: после преобразования оно равно 3^{2x}, а степень с положительным основанием всегда положительна.

Переходим к пункту б: отбираем корни на отрезке \left[-2\pi;-\dfrac{\pi}{2}\right]. Переведём всё в четверти \pi: левый конец -2\pi=-\dfrac{8\pi}{4}, правый конец -\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{2\pi}{4}. Подходят корни с числителем от -8 до -2 включительно.

Серия x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n в четвертях — это \dfrac{(1+8n)\pi}{4}: при n=0 числитель 1 — положительный, вне отрезка; при n=-1 числитель 1-8=-7, то есть x=-\dfrac{7\pi}{4} — попадает; при n=-2 числитель -15 — далеко влево.

Серия x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n в четвертях — это \dfrac{(3+8n)\pi}{4}: при n=-1 числитель 3-8=-5, то есть x=-\dfrac{5\pi}{4} — попадает; при n=-2 числитель -13 — вне.

Отобранные корни по возрастанию: -\dfrac{7\pi}{4} и -\dfrac{5\pi}{4}.