Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00042104

Пункт а. Начнём с области определения. Логарифм существует только от положительного числа:

$$-0{,}8\cos x\gt0\quad\Leftrightarrow\quad\cos x\lt0.$$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а второй при этом определён. Значит, решаем совокупность двух уравнений и каждое решение проверяем условием $\cos x\lt0$.

Первый множитель. По основному тригонометрическому тождеству $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$-2\left(1-\sin^2x\right)+\sin x+1=2\sin^2x+\sin x-1=0.$$

Обозначим $t=\sin x$: $2t^2+t-1=0$, $D=1+8=9$, $t=\dfrac{-1\pm3}{4}$, то есть $t=\dfrac12$ или $t=-1$.

Если $\sin x=-1$, то $\cos x=0$, и логарифм $\log_{0{,}5}0$ не существует. Эти точки не подходят.

Если $\sin x=\dfrac12$, то на окружности это точки $\dfrac{\pi}{6}$ (там $\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2}\gt0$ — не подходит) и $\dfrac{5\pi}{6}$ (там $\cos x=-\dfrac{\sqrt3}{2}\lt0$ — подходит). Получаем $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$.

Второй множитель. Логарифм равен нулю, когда его аргумент равен единице: $-0{,}8\cos x=1$, $\cos x=-\dfrac{1}{0{,}8}=-1{,}25$. Косинус не бывает меньше $-1$, решений нет.

Итак, $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отбор корней. Промежуток $[-6\pi;-4\pi]$ имеет длину $2\pi$ — ровно один оборот. Сдвинем базовый угол $\dfrac{5\pi}{6}$ на $-6\pi$: $\dfrac{5\pi}{6}-6\pi=-\dfrac{31\pi}{6}\approx-5{,}17\pi$ — лежит между $-6\pi$ и $-4\pi$.

Соседние точки серии: $-\dfrac{31\pi}{6}+2\pi=-\dfrac{19\pi}{6}\approx-3{,}17\pi$ и $-\dfrac{31\pi}{6}-2\pi=-\dfrac{43\pi}{6}\approx-7{,}17\pi$ — обе вне промежутка.

Проверка: $-\dfrac{31\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}-3\cdot2\pi$, поэтому $\sin x=\dfrac12$, $\cos x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$. Первая скобка: $-2\cdot\dfrac34+\dfrac12+1=0$; аргумент логарифма $0{,}8\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}69\gt0$ — логарифм определён.