ID: 00013420
а) Решите уравнение $\dfrac{\log_2^2(\sin x) + \log_2(\sin x)}{2 \cos x - \sqrt{3}} = 0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [$\dfrac{\pi}{2}$; 2$\pi$]
Источник: ФИПИ
Сначала учтём область допустимых значений (ОДЗ) — значения $x$, при которых уравнение имеет смысл.
$\sin x>0$ (аргумент логарифма) и $2\cos x-\sqrt3\neq0$, т.е. $\cos x\neq\tfrac{\sqrt3}{2}$.
Пункт а. Числитель равен нулю (при ОДЗ). Замена $u=\log_2(\sin x)$:
$$u(u+1)=0,\ u=0\ \text{или}\ u=-1$$
Обратно: $\sin x=1$ или $\sin x=\tfrac12$. Корень с $\cos x=\tfrac{\sqrt3}{2}$ ($x=\tfrac{\pi}{6}$) отброшен по ОДЗ.
Выпишем все серии корней:
$$\sin x=1\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\sin x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n\ \ (x=\tfrac{\pi}{6}+2\pi n\ \text{отброшен})$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{\pi}{2};\,2 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{\pi}{2};\,2 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{6}$$
а) $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$
б) $\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{6}$