Физический… — Задание 9 ЕГЭ по математике №00043486

Здесь точка движется по прямой, и нам дан закон, по которому меняется её координата $x(t)$. Спрашивают скорость в конкретный момент. Главная идея: скорость — это производная координаты по времени. Иначе говоря, скорость показывает, как быстро меняется $x$ в данный момент.

Найдём производную по слагаемым. Вспомним правило: производная $t^{n}$ равна $n\cdot t^{n-1}$, а числовой множитель просто переносится.

Для $-\dfrac14t^{3}$: $-\dfrac14\cdot 3t^{2}=-\dfrac34t^{2}$. Для $7t^{2}$: $7\cdot 2t=14t$. Для $-8t$: производная равна $-8$.

Получаем закон скорости:

$$v(t)=x'(t)=-\dfrac34t^{2}+14t-8.$$

Подставим $t=8$. Сначала $8^{2}=64$, и $\dfrac34\cdot 64=48$. Затем $14\cdot 8=112$:

$$v(8)=-48+112-8=56.$$

Проверим себя прикидкой по смыслу: найдём, сколько точка проходит за маленький отрезок времени около $t=8$. $x(8)=-\dfrac14\cdot 512+7\cdot 64-64=-128+448-64=256$, а $x(8{,}01)\approx 256{,}56$. За $0{,}01$ с точка сдвинулась примерно на $0{,}56$ м — это и есть около $56$ метров в секунду.