Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042650

Расстояние положительно, поэтому оно наименьшее там же, где наименьший его квадрат $f(x)$. Функция чётная, так что достаточно исследовать её на отрезке $[0;4]$.

Найдём производную. Производная $\left(\dfrac{x^{2}}{4}-5\right)^{2}$ по правилу сложной функции равна $2\left(\dfrac{x^{2}}{4}-5\right)\cdot\dfrac{x}{2}=x\left(\dfrac{x^{2}}{4}-5\right)$:

$$f'(x)=2x+x\left(\dfrac{x^{2}}{4}-5\right)=x\left(\dfrac{x^{2}}{4}-3\right)=\dfrac{x\left(x^{2}-12\right)}{4}.$$

На $[0;4]$ производная обращается в ноль при $x=0$ и $x=\sqrt{12}=2\sqrt3$. При $0\lt x\lt2\sqrt3$ она отрицательна, при $2\sqrt3\lt x\leqslant4$ положительна. Значит, $x=2\sqrt3$ — точка минимума, а $x=0$ — наоборот, точка максимума.

$$f\left(2\sqrt3\right)=12+(3-5)^{2}=16,\qquad d_{\min}=\sqrt{16}=4\ \text{м}.$$

Самое неожиданное: на дне рампы расстояние равно $5$ м, и это не минимум, а максимум среди близких точек. На краю рампы $f(4)=16+1=17$, расстояние $\sqrt{17}\approx4{,}12$ м — тоже больше $4$ м.

Проверим себя другим способом. Обозначим $u=x^{2}\in[0;16]$: $f=u+\left(\dfrac{u}{4}-5\right)^{2}=\dfrac{u^{2}}{16}-\dfrac{3u}{2}+25$. Это парабола ветвями вверх с вершиной $u=\dfrac{3/2}{2/16}=12$, значение в вершине $\dfrac{144}{16}-18+25=16$. Результат совпал.