Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042644

Сначала поймём, откуда формула: перпендикулярно стене идут три отрезка длины $x$ (две короткие стороны и перегородка), а вдоль стены — сторона длины $\dfrac{300}{x}$, ведь площадь прямоугольника равна $300$. Длина стороны положительна, поэтому исследуем функцию при $x\gt0$.

Найдём производную:

$$L'(x)=3-\dfrac{300}{x^{2}}=\dfrac{3\left(x^{2}-100\right)}{x^{2}}.$$

При $x\gt0$ знаменатель положителен, и знак производной совпадает со знаком $x^{2}-100$. Производная равна нулю при $x=10$ (корень $x=-10$ не подходит: длина не бывает отрицательной).

При $0\lt x\lt10$ производная отрицательна — длина забора уменьшается, при $x\gt10$ положительна — увеличивается. Значит, $x=10$ — точка минимума, и наименьшая длина забора достигается при ней:

$$L(10)=3\cdot10+\dfrac{300}{10}=30+30=60.$$

Загон получается $10\times30$ блоков: вдоль стены замка $30$ блоков, две короткие стороны и перегородка по $10$ блоков. Размеры целые, так что в Minecraft такой загон строится без половинок блоков.

Проверим себя другим способом — неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Для положительных $a$ и $b$ верно $a+b\geqslant2\sqrt{ab}$:

$$3x+\dfrac{300}{x}\geqslant2\sqrt{3x\cdot\dfrac{300}{x}}=2\sqrt{900}=60,$$

причём равенство достигается, когда $3x=\dfrac{300}{x}$, то есть при $x=10$. Результат совпал: меньше $60$ блоков забора Сэви не хватит.