Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042647

Первое слагаемое — путь от дома до точки набора, гипотенуза треугольника с катетами $x$ и $30$; второе — путь от реки до огорода, гипотенуза с катетами $60-x$ и $50$.

Найдём производную; корни дифференцируем по правилу сложной функции:

$$L'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+900}}-\dfrac{60-x}{\sqrt{(60-x)^{2}+2500}}.$$

Первая дробь с ростом $x$ возрастает, а вычитаемая убывает, поэтому $L'(x)$ возрастает и меняет знак не больше одного раза. При $x=0$ производная отрицательна (она равна $-\dfrac{60}{\sqrt{6100}}$), при $x=60$ положительна (равна $\dfrac{60}{\sqrt{4500}}$). Значит, внутри отрезка ровно одна точка, где $L'(x)=0$, и это точка минимума.

Найдём её. Обе дроби — косинусы углов, под которыми отрезки пути подходят к берегу. Равенство $L'(x)=0$ означает, что эти углы равны, а тогда равны и их тангенсы: $\dfrac{30}{x}=\dfrac{50}{60-x}$. Отсюда $1800-30x=50x$, $x=22{,}5$.

Подставим:

$$L(22{,}5)=\sqrt{506{,}25+900}+\sqrt{1406{,}25+2500}=\sqrt{1406{,}25}+\sqrt{3906{,}25}=37{,}5+62{,}5=100.$$

Проверим себя геометрически — приёмом отражения. Отразим огород относительно реки: он окажется в $50$ блоках по другую сторону берега, а длина второго отрезка пути при этом не изменится. Путь «дом — берег — отражённый огород» не короче отрезка, соединяющего дом с отражённым огородом, а длина этого отрезка $\sqrt{60^{2}+(30+50)^{2}}=\sqrt{3600+6400}=100$. Результат совпал.