Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042633

Откуда формула: от земли до верхнего края внешней стены лестница поднимается на $8$ м, и длина этого куска равна $\dfrac{8}{\sin\theta}$; дальше до стены замка остаётся $1$ м по горизонтали, и длина второго куска равна $\dfrac{1}{\cos\theta}$.

Найдём производную. Производная функции $\dfrac{1}{\sin\theta}$ равна $-\dfrac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}$, а функции $\dfrac{1}{\cos\theta}$ — равна $\dfrac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta}$:

$$L'(\theta)=-\dfrac{8\cos\theta}{\sin^{2}\theta}+\dfrac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta}=\dfrac{\sin^{3}\theta-8\cos^{3}\theta}{\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta}.$$

Знаменатель положителен. Разделим числитель на положительное число $\cos^{3}\theta$: знак производной совпадает со знаком выражения $\operatorname{tg}^{3}\theta-8$. Тангенс на $\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$ возрастает, поэтому производная отрицательна при $\operatorname{tg}\theta\lt2$ и положительна при $\operatorname{tg}\theta\gt2$. Наименьшая длина — при угле $\theta_0$, для которого $\operatorname{tg}\theta_0=2$.

Найдём синус и косинус этого угла: $\cos^{2}\theta_0=\dfrac{1}{1+\operatorname{tg}^{2}\theta_0}=\dfrac15$, $\cos\theta_0=\dfrac{1}{\sqrt5}$, $\sin\theta_0=\operatorname{tg}\theta_0\cdot\cos\theta_0=\dfrac{2}{\sqrt5}$. Тогда

$$L(\theta_0)=\dfrac{8\sqrt5}{2}+\sqrt5=4\sqrt5+\sqrt5=5\sqrt5\ \text{м}\approx11{,}2\ \text{м}.$$

Проверим себя другим способом — без тригонометрии. Пусть нижний конец лестницы стоит на расстоянии $x$ м от внешней стены. Лестница поднимается на $\dfrac{8}{x}$ м на каждый метр по горизонтали, поэтому от нижнего конца до стены замка она проходит $x+1$ м по горизонтали и $\dfrac{8(x+1)}{x}$ м по вертикали:

$$L^{2}=f(x)=(x+1)^{2}\left(1+\dfrac{64}{x^{2}}\right),\qquad f'(x)=\dfrac{2(x+1)\left(x^{3}-64\right)}{x^{3}}.$$

При $x\gt0$ производная меняет знак с минуса на плюс при $x=4$. Тогда $L^{2}=25\cdot\dfrac{80}{16}=125$ и $L=5\sqrt5$ м. Результат совпал.