Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042641

Поймём, откуда формула. Сечение жёлоба — равнобедренная трапеция: нижнее основание (дно) $10$ см, высота $10\sin\alpha$, верхнее основание $10+2\cdot10\cos\alpha$. Её площадь равна $\dfrac{10+10+20\cos\alpha}{2}\cdot10\sin\alpha=100\sin\alpha\,(1+\cos\alpha)$.

Найдём производную по правилу произведения и заменим $\sin^{2}\alpha$ на $1-\cos^{2}\alpha$:

$$S'(\alpha)=100\big(\cos\alpha\,(1+\cos\alpha)-\sin^{2}\alpha\big)=100\left(2\cos^{2}\alpha+\cos\alpha-1\right).$$

Квадратный трёхчлен относительно $c=\cos\alpha$ раскладывается на множители: $2c^{2}+c-1=(2c-1)(c+1)$. Значит,

$$S'(\alpha)=100\,(2\cos\alpha-1)(\cos\alpha+1).$$

На интервале $(0;\pi)$ множитель $\cos\alpha+1$ положителен, и знак производной совпадает со знаком $2\cos\alpha-1$. Косинус на этом интервале убывает, поэтому $2\cos\alpha-1\gt0$ при $0\lt\alpha\lt\dfrac{\pi}{3}$ и $2\cos\alpha-1\lt0$ при $\dfrac{\pi}{3}\lt\alpha\lt\pi$.

Значит, $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$ — точка максимума:

$$S\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=100\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\left(1+\dfrac12\right)=75\sqrt3\approx129{,}9\ \text{см}^{2}.$$

Проверим себя геометрией. При $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$ верхнее основание равно $10+20\cdot\dfrac12=20$ см, и сечение складывается из трёх правильных треугольников со стороной $10$ см — это половина правильного шестиугольника. Площадь одного такого треугольника $\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot100=25\sqrt3$, трёх — $75\sqrt3$. Для сравнения, при вертикальных стенках ($\alpha=\dfrac{\pi}{2}$) площадь всего $100$ см², меньше найденной.