Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042632

Откуда формула: центр основания дома совпадает с центром полусферы, а верхняя вершина дома удалена от этого центра на $R$. Если сторона основания $a$, то расстояние от центра основания до его угла равно $\dfrac{a}{\sqrt2}$, и по теореме Пифагора $\dfrac{a^{2}}{2}+h^{2}=R^{2}$, то есть $a^{2}=2\left(R^{2}-h^{2}\right)$. Объём $V=a^{2}h$. При $R=9$:

$$V(h)=2\left(81-h^{2}\right)h=162h-2h^{3},\qquad 0\lt h\lt9.$$

Найдём производную:

$$V'(h)=162-6h^{2}=6\left(27-h^{2}\right).$$

На интервале $(0;9)$ производная положительна при $h\lt\sqrt{27}=3\sqrt3$ и отрицательна при $h\gt3\sqrt3$. Значит, $V$ возрастает на $\left(0;3\sqrt3\right]$ и убывает на $\left[3\sqrt3;9\right)$, и наибольший объём достигается при высоте $h_0=3\sqrt3$ м.

При этом площадь основания $a^{2}=2(81-27)=108\ \text{м}^{2}$, и

$$V(h_0)=108\cdot3\sqrt3=324\sqrt3\ \text{м}^{3}\approx561\ \text{м}^{3}.$$

Проверим себя другим способом. Объём положителен, поэтому можно сравнивать квадраты: $V^{2}=4\left(81-h^{2}\right)^{2}h^{2}=2\cdot\left(81-h^{2}\right)\cdot\left(81-h^{2}\right)\cdot2h^{2}$. Сумма трёх положительных множителей $\left(81-h^{2}\right)+\left(81-h^{2}\right)+2h^{2}=162$ постоянна, поэтому по неравенству о среднем их произведение не больше $54^{3}$, причём равенство — при $81-h^{2}=2h^{2}$, то есть $h^{2}=27$. Получаем $V^{2}\leqslant2\cdot54^{3}=314\,928$, а $\left(324\sqrt3\right)^{2}=104\,976\cdot3=314\,928$. Результат совпал.