Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042622

Угол $\varphi$, под которым видны ворота, острый: $0\lt\varphi\lt\dfrac{\pi}{2}$. На этом промежутке тангенс возрастает, поэтому угол наибольший там же, где наибольший его тангенс. Подставим $w=5$ и $a(a+w)=4\cdot9=36$:

$$f(x)=\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{5x}{x^{2}+36},\quad x\gt0.$$

Найдём производную по правилу дифференцирования частного:

$$f'(x)=\dfrac{5\,(x^{2}+36)-5x\cdot2x}{(x^{2}+36)^{2}}=\dfrac{5\,(36-x^{2})}{(x^{2}+36)^{2}}.$$

Знаменатель положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком разности $36-x^{2}$. При $x\gt0$ она положительна, пока $x\lt6$, и отрицательна при $x\gt6$.

Значит, $f$ возрастает на $(0;6]$ и убывает на $[6;+\infty)$, и наибольшее значение достигается при $x=6$ м. В этой точке $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{30}{72}=\dfrac{5}{12}$.

Проверим себя другим способом — геометрией. Обозначим ближнюю штангу $B$, дальнюю $C$, а точку пересечения прямой бега с линией ворот $A$; тогда $AB=4$, $AC=9$. Проведём окружность через $B$ и $C$, касающуюся прямой бега в точке $M$. Любая другая точка прямой бега (по ту же сторону от линии ворот) лежит вне этой окружности, и из неё отрезок $BC$ виден под меньшим углом, чем из $M$. По теореме о касательной и секущей $AM^{2}=AB\cdot AC=4\cdot9=36$, откуда $AM=6$ м. Результат совпал.