Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042631

Откуда формула: если глубина бассейна $h$, то $x^{2}h=V$, поэтому $h=\dfrac{V}{x^{2}}$, а площадь дна и четырёх стенок равна $x^{2}+4xh=x^{2}+\dfrac{4V}{x}$. При $V=500$ получаем

$$S(x)=x^{2}+\dfrac{2000}{x},\qquad x\gt0.$$

Найдём производную:

$$S'(x)=2x-\dfrac{2000}{x^{2}}=\dfrac{2\left(x^{3}-1000\right)}{x^{2}}.$$

При $x\gt0$ знаменатель положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком разности $x^{3}-1000$: она отрицательна при $0\lt x\lt10$ и положительна при $x\gt10$. Значит, $S$ убывает на $(0;10]$ и возрастает на $[10;+\infty)$, наименьшее значение — при $x=10$ м:

$$S(10)=100+\dfrac{2000}{10}=100+200=300\ \text{м}^{2}.$$

Глубина такого бассейна $h=\dfrac{500}{100}=5$ м — ровно половина стороны дна.

Проверим себя другим способом — неравенством о среднем для трёх положительных чисел:

$$x^{2}+\dfrac{1000}{x}+\dfrac{1000}{x}\geqslant3\sqrt[3]{x^{2}\cdot\dfrac{1000}{x}\cdot\dfrac{1000}{x}}=3\sqrt[3]{1\,000\,000}=300,$$

причём равенство достигается при $x^{2}=\dfrac{1000}{x}$, то есть при $x=10$. Результат совпал.