Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042540

Пункт а. Докажем, что $|\vec a|=|\vec b|$.

Перпендикулярность векторов означает, что их скалярное произведение равно нулю. Это равенство — отправная точка доказательства:

$$(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=0.$$

Раскрываю скобки по распределительному закону:

$$\vec a\cdot\vec a-\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec a-\vec b\cdot\vec b=0.$$

Скалярное произведение переместительно, $\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$, поэтому средние слагаемые взаимно уничтожаются. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:

$$|\vec a|^2-|\vec b|^2=0\quad\Longrightarrow\quad |\vec a|^2=|\vec b|^2.$$

Длины векторов неотрицательны, поэтому из равенства квадратов следует равенство самих длин: $|\vec a|=|\vec b|$. Что и требовалось доказать.

Отдельно о вырожденных случаях. Если $\vec a+\vec b=\vec 0$, то $\vec b=-\vec a$ и $|\vec b|=|\vec a|$; если $\vec a-\vec b=\vec 0$, то $\vec b=\vec a$. Так что утверждение верно и тогда, когда один из векторов нулевой и перпендикулярность понимается как равенство нулю скалярного произведения.

Проверка на примере: $\vec a(3;\,4)$, $\vec b(5;\,0)$: $\vec a+\vec b=(8;\,4)$, $\vec a-\vec b=(-2;\,4)$, скалярное произведение $-16+16=0$, и действительно $|\vec a|=5=|\vec b|$.

Пункт б. Найдём $|\vec a-\vec b|$ при $|\vec a|=13$, $|\vec a+\vec b|=24$.

По пункту а $|\vec b|=|\vec a|=13$. Запишем квадраты длин суммы и разности через скалярные квадраты:

$$|\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+2\,\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2,\qquad |\vec a-\vec b|^2=|\vec a|^2-2\,\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2.$$

Сложим эти равенства — слагаемые со скалярным произведением войдут с противоположными знаками:

$$|\vec a+\vec b|^2+|\vec a-\vec b|^2=2|\vec a|^2+2|\vec b|^2=2\cdot169+2\cdot169=676.$$

Отсюда $|\vec a-\vec b|^2=676-24^2=676-576=100$, и $|\vec a-\vec b|=10$.

Проверим себя геометрически. Отложим $\vec a$ и $\vec b$ от одной точки; на них строится параллелограмм с равными сторонами $13$ — ромб, а $\vec a+\vec b$ и $\vec a-\vec b$ — его диагонали. Они перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому половины диагоналей и сторона образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой $13$ и катетом $12$. Второй катет $\sqrt{169-144}=5$, вся диагональ $10$. Совпало.