Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042531

Пункт а. Докажем, что площадь $S$ этого четырёхугольника удовлетворяет неравенству $S\leqslant\dfrac{ab+cd}{2}$.

Нужно оценить площадь через стороны. Посмотрим, где сходятся стороны из правой части: $a=AB$ и $b=BC$ встречаются в вершине $B$, а $c=CD$ и $d=DA$ — в вершине $D$. Значит, удобно разрезать четырёхугольник диагональю $AC$, соединяющей две другие вершины: тогда каждая пара сторон окажется в своём треугольнике.

Четырёхугольник выпуклый, поэтому диагональ $AC$ лежит внутри него и делит его на два треугольника $ABC$ и $ACD$ без наложений. Площадь складывается:

$$S=S_{ABC}+S_{ACD}.$$

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними. В треугольнике $ABC$ стороны $a$ и $b$ образуют угол $ABC$, в треугольнике $ACD$ стороны $c$ и $d$ образуют угол $ADC$:

$$S=\dfrac12 ab\sin\angle ABC+\dfrac12 cd\sin\angle ADC.$$

Синус любого угла не больше $1$, а множители $\dfrac12ab$ и $\dfrac12cd$ положительны, поэтому при замене синуса единицей каждое слагаемое может только вырасти:

$$\dfrac12 ab\sin\angle ABC\leqslant\dfrac12 ab,\qquad \dfrac12 cd\sin\angle ADC\leqslant\dfrac12 cd.$$

Складываем эти два неравенства и получаем $S\leqslant\dfrac{ab+cd}{2}$, что и требовалось доказать.

Когда достигается равенство: оба синуса равны $1$, то есть углы $B$ и $D$ прямые. Проверю на прямоугольнике $3\times4$: $a=c=3$, $b=d=4$, площадь $12$, правая часть $\dfrac{3\cdot4+3\cdot4}{2}=12$ — равенство, как и предсказано. У параллелограмма со сторонами $3$, $4$ и углом $30^\circ$ площадь $3\cdot4\cdot\dfrac12=6$, а правая часть та же $12$ — неравенство строгое.

Пункт б. Найдём $BD$ при $a=15$, $b=20$, $c=7$, $d=24$, $S=234$.

Вычислим правую часть неравенства из пункта а:

$$\dfrac{ab+cd}{2}=\dfrac{15\cdot20+7\cdot24}{2}=\dfrac{300+168}{2}=234.$$

Площадь равна этой границе. Из доказательства пункта а равенство возможно только тогда, когда $\sin\angle ABC=1$ и $\sin\angle ADC=1$, то есть углы $B$ и $D$ прямые.

Проверим, что данные с этим согласованы: из прямоугольного треугольника $ABC$ имеем $AC^2=15^2+20^2=625$, из прямоугольного треугольника $ACD$ — $AC^2=7^2+24^2=625$. Совпадает, $AC=25$.

Прямые углы $B$ и $D$ опираются на отрезок $AC$, поэтому точки $B$ и $D$ лежат на окружности с диаметром $AC$, её радиус $R=\dfrac{25}{2}$.

Хорда $BD$ этой окружности видна из точки $A$ под углом $BAD=\angle BAC+\angle CAD$. Синусы и косинусы частей найдём из прямоугольных треугольников:

$$\sin\angle BAC=\dfrac{20}{25}=\dfrac45,\quad \cos\angle BAC=\dfrac{15}{25}=\dfrac35,\quad \sin\angle CAD=\dfrac{7}{25},\quad \cos\angle CAD=\dfrac{24}{25}.$$

По формуле синуса суммы:

$$\sin\angle BAD=\dfrac45\cdot\dfrac{24}{25}+\dfrac35\cdot\dfrac{7}{25}=\dfrac{96+21}{125}=\dfrac{117}{125}.$$

По теореме синусов для вписанного треугольника $ABD$:

$$BD=2R\sin\angle BAD=25\cdot\dfrac{117}{125}=\dfrac{117}{5}=23{,}4.$$

Проверим себя теоремой Птолемея для вписанного четырёхугольника: $AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA=15\cdot7+20\cdot24=105+480=585$, откуда $BD=\dfrac{585}{25}=23{,}4$. Совпало.