Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042539

Пункт а. Докажем, что векторы $\vec a+\vec b$ и $\vec a-\vec b$ перпендикулярны.

Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Поэтому сначала проверю, что векторы ненулевые, а потом посчитаю скалярное произведение.

Векторы ненулевые. Если бы $\vec a+\vec b=\vec 0$, то $\vec b=-\vec a$, и векторы были бы коллинеарны. Если бы $\vec a-\vec b=\vec 0$, то $\vec b=\vec a$ — тоже коллинеарны. Оба случая противоречат условию.

Скалярное произведение. Раскрываю скобки по распределительному закону:

$$(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=\vec a\cdot\vec a-\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec a-\vec b\cdot\vec b.$$

Скалярное произведение переместительно: $\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$, поэтому два средних слагаемых в сумме дают ноль. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:

$$(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=|\vec a|^2-|\vec b|^2=1^2-1^2=0.$$

Скалярное произведение ненулевых векторов $\vec a+\vec b$ и $\vec a-\vec b$ равно нулю, значит, они перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

Геометрический смысл: если отложить $\vec a$ и $\vec b$ от одной точки, то $\vec a+\vec b$ и $\vec a-\vec b$ — диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах. Стороны у него равны $1$, то есть это ромб, а диагонали ромба перпендикулярны.

Пункт б. Найдём угол между $\vec a+\vec b$ и $\vec a$ при $|\vec a+\vec b|=\sqrt3$.

Сначала найдём скалярное произведение $\vec a\cdot\vec b$. Квадрат длины суммы — её скалярный квадрат:

$$|\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+2\,\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2\ \Rightarrow\ 3=1+2\,\vec a\cdot\vec b+1,\qquad \vec a\cdot\vec b=\dfrac12.$$

Скалярное произведение суммы на вектор $\vec a$:

$$(\vec a+\vec b)\cdot\vec a=|\vec a|^2+\vec b\cdot\vec a=1+\dfrac12=\dfrac32.$$

Косинус угла $\psi$ между векторами $\vec a+\vec b$ и $\vec a$ — скалярное произведение, делённое на произведение длин:

$$\cos\psi=\dfrac{3/2}{\sqrt3\cdot1}=\dfrac{3}{2\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{2},\qquad \psi=30^\circ.$$

Проверим себя геометрически. Отложим $\vec a$ и $\vec b$ от одной точки; на них строится параллелограмм со сторонами $1$ и $1$, то есть ромб, а $\vec a+\vec b$ — его диагональ. Диагональ ромба делит угол пополам. Угол между $\vec a$ и $\vec b$: $\cos\varphi=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{1\cdot1}=\dfrac12$, $\varphi=60^\circ$. Половина — $30^\circ$. Совпало.