Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042528

Пункт а. Докажем, что $\angle AKB=90^\circ$ и точка $K$ лежит на средней линии трапеции или на её продолжении.

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$, $AB$ — боковая сторона, $AK$ и $BK$ — биссектрисы углов $BAD$ и $ABC$, $K$ — точка их пересечения. Нужно доказать две вещи: $\angle AKB=90^\circ$ и точка $K$ лежит на средней линии $MN$ или её продолжении.

Прямой угол. Углы $BAD$ и $ABC$ — односторонние при параллельных прямых $AD$, $BC$ и секущей $AB$, поэтому $\angle BAD+\angle ABC=180^\circ$.

Биссектрисы забирают по половине каждого угла:

$$\angle KAB+\angle KBA=\dfrac12\left(\angle BAD+\angle ABC\right)=90^\circ.$$

Сумма углов треугольника $AKB$ равна $180^\circ$, значит,

$$\angle AKB=180^\circ-90^\circ=90^\circ.$$

Точка на средней линии. Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $A$, поэтому она одинаково удалена от прямых $AB$ и $AD$. Она же лежит на биссектрисе угла $B$ — значит, одинаково удалена от прямых $AB$ и $BC$.

Следовательно, расстояния от $K$ до прямых $AD$ и $BC$ равны.

Множество точек, равноудалённых от двух параллельных прямых, — это прямая, параллельная им и проходящая ровно посередине. (Точка вне полосы между прямыми ближе к одной из них на ширину полосы, поэтому равноудалённой быть не может.)

Средняя линия $MN$ параллельна основаниям и соединяет середины боковых сторон, поэтому она лежит ровно посередине между прямыми $AD$ и $BC$. Значит, $K$ лежит на прямой $MN$ — на самой средней линии или на её продолжении. Что и требовалось доказать.

Проверю вторую часть другим путём. Продолжу $AK$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $F$. Тогда $\angle BFA=\angle FAD$ (накрест лежащие) и $\angle FAD=\angle FAB$ (биссектриса), поэтому треугольник $ABF$ равнобедренный: $BA=BF$. В нём $BK$ — биссектриса угла при вершине, а значит, и медиана, и высота: $K$ — середина $AF$ и $BK\perp AF$. Середина отрезка, концы которого лежат на прямых $AD$ и $BC$, находится посередине между этими прямыми — снова на прямой средней линии; заодно ещё раз получен прямой угол.

Когда точка попадает на продолжение: $M$ — середина гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $AKB$, поэтому $MK=\dfrac{AB}{2}$. Если $\dfrac{AB}{2}$ больше длины средней линии, точка $K$ выходит за отрезок $MN$.

Пункт б. Найдём высоту трапеции при $AK=15$, $BK=20$.

По пункту а треугольник $AKB$ прямоугольный с прямым углом при $K$. По теореме Пифагора

$$AB=\sqrt{AK^2+BK^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25.$$

Точка $K$ лежит на биссектрисах углов $A$ и $B$, поэтому она одинаково удалена от прямых $AB$, $AD$ и $BC$. Обозначим это общее расстояние $\rho$.

Расстояние от $K$ до $AB$ — высота прямоугольного треугольника $AKB$, проведённая к гипотенузе. Запишем площадь этого треугольника двумя способами: $\dfrac12\cdot AK\cdot BK=\dfrac12\cdot AB\cdot\rho$, откуда

$$\rho=\dfrac{AK\cdot BK}{AB}=\dfrac{15\cdot20}{25}=12.$$

Точка $K$ удалена от прямых $AD$ и $BC$ на одно и то же расстояние $\rho$ и лежит между ними (на средней линии). Высота трапеции — расстояние между прямыми $AD$ и $BC$ — складывается из этих двух расстояний:

$$h=2\rho=24.$$

Проверим себя другим путём — через угол $A$ трапеции. В прямоугольном треугольнике $AKB$ угол $KAB$ — половина угла $A$, и

$$\sin\angle KAB=\dfrac{BK}{AB}=\dfrac{20}{25}=\dfrac45,\qquad \cos\angle KAB=\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{15}{25}=\dfrac35.$$

По формуле синуса двойного угла $\sin\angle A=2\cdot\dfrac45\cdot\dfrac35=\dfrac{24}{25}$. Высота трапеции — катет прямоугольного треугольника с гипотенузой $AB$, лежащий против угла $A$:

$$h=AB\cdot\sin\angle A=25\cdot\dfrac{24}{25}=24.$$

Совпало.