Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042530

Пункт а. Докажем, что одно из оснований этой трапеции не может быть меньше $4$, если другое равно $5$.

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $AD$ и $BC$, боковыми сторонами $AB=CD=c$ и диагональю $AC=8$. Диагональ $AC$ соединяет вершину $A$ одного основания с вершиной $C$ другого и может делить пополам угол при $A$ или угол при $C$. Разберу оба случая.

Случай 1: $AC$ — биссектриса угла $BAD$. Углы $BCA$ и $CAD$ равны как накрест лежащие при $BC\parallel AD$, а $\angle CAD=\angle BAC$. Значит, $\angle BCA=\angle BAC$, и треугольник $ABC$ равнобедренный: $AB=BC$. Неравенство треугольника для $ABC$: $AB+BC\gt AC$, то есть $2BC\gt8$ и $BC\gt4$.

Случай 2: $AC$ — биссектриса угла $BCD$. Так же $\angle CAD=\angle BCA=\angle ACD$, треугольник $ACD$ равнобедренный: $AD=CD$, и из неравенства треугольника $ACD$: $2AD\gt8$, $AD\gt4$.

В обоих случаях одно из оснований (обозначу его $x$) равно боковой стороне и больше $4$: $c=x\gt4$. Другое основание обозначу $y$.

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность, и по теореме Птолемея $AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$. Здесь $AC=BD=8$, $AB=CD=c$, поэтому

$$64=c^2+xy=x^2+xy.$$

Пусть одно основание меньше $4$, а другое равно $5$. Основание $x$ больше $4$, значит, меньше $4$ может быть только $y$, а $x=5$. Подставляю:

$$64=25+5y\quad\Rightarrow\quad y=\dfrac{39}{5}=7{,}8.$$

Но $7{,}8\gt4$ — противоречие с $y\lt4$. Значит, такое невозможно.

Проверю другим способом, через углы (как в книге). Пусть, например, случай 2 и $AD=5$ — большее основание, а $BC\lt4$. Тогда $AD=CD=AB=5$, $AC=8$. В равнобедренном треугольнике $ACD$ высота из $D$ делит $AC$ пополам, поэтому $\cos\angle CAD=\dfrac45$. Угол при меньшем основании $\angle BCD=2\angle ACD=2\angle CAD$, и

$$\cos\angle BCD=2\cdot\left(\dfrac45\right)^2-1=\dfrac{32}{25}-1=\dfrac{7}{25}\gt0.$$

Получается, что угол $BCD$ острый, а у равнобедренной трапеции угол при меньшем основании тупой — противоречие. Случай 1 с $BC=5$ разбирается так же с переставленными буквами. Ответ тот же: не может.

Пункт б. Найдём высоту трапеции, если её боковая сторона равна $5$.

Из рассуждения пункта а: в обоих случаях одно из оснований равно боковой стороне. Значит, одно из оснований равно $5$.

Пусть для определённости это случай 1: $AC$ — биссектриса угла $BAD$, и $BC=AB=5$. Треугольник $ABC$ равнобедренный со сторонами $5$, $5$ и $8$. Его высота из вершины $B$ делит основание $AC$ пополам, поэтому

$$\cos\angle BAC=\dfrac{4}{5},\qquad \sin\angle BAC=\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}=\dfrac35.$$

Угол $CAD$ равен углу $BAC$ (биссектриса). Высота трапеции — это расстояние от точки $C$ до прямой $AD$, то есть катет прямоугольного треугольника с гипотенузой $AC$, лежащий против угла $CAD$:

$$h=AC\cdot\sin\angle CAD=8\cdot\dfrac35=\dfrac{24}{5}=4{,}8.$$

В случае 2 (биссектриса угла $BCD$, $AD=CD=5$) всё то же с переставленными буквами: равнобедренный треугольник $ACD$ со сторонами $5$, $5$, $8$, и высота трапеции равна $AC\cdot\sin\angle ACB=8\cdot\dfrac35=4{,}8$.

Проверим себя через второе основание. По соотношению из пункта а $64=x^2+xy$ при $x=5$ получаем $y=\dfrac{64-25}{5}=7{,}8$. Полуразность оснований $\dfrac{7{,}8-5}{2}=1{,}4$, и высота из прямоугольного треугольника с гипотенузой — боковой стороной $5$:

$$h=\sqrt{25-1{,}4^2}=\sqrt{25-1{,}96}=\sqrt{23{,}04}=4{,}8.$$

Совпало. Заодно видно, что трапеция существует: основания $5$ и $7{,}8$, диагональ $\sqrt{6{,}4^2+4{,}8^2}=8$.