Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042529

Сначала разберёмся с картинкой. Опустим из вершин $B$ и $C$ высоты $BK$ и $CL$ на основание $AD$. Трапеция равнобокая, поэтому отрезки $AK$ и $LD$ равны, а $KL=BC=6$:

$$AK=LD=\dfrac{AD-BC}{2}=\dfrac{12-6}{2}=3,\qquad AL=AK+KL=3+6=9.$$

Пункт а. Докажем, что $\angle BAC\gt\angle CAD$.

Угол $BCA$ равен углу $CAD$ как накрест лежащий при параллельных прямых $BC$, $AD$ и секущей $AC$. Значит, достаточно сравнить два угла одного треугольника $ABC$: $\angle BAC$ и $\angle BCA$.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, и наоборот. Против угла $BCA$ лежит сторона $AB$, против угла $BAC$ — сторона $BC=6$.

Боковую сторону найдём из прямоугольного треугольника $ABK$:

$$AB=\sqrt{AK^2+BK^2}=\sqrt{9+16}=5.$$

Так как $BC=6\gt5=AB$, угол против $BC$ больше: $\angle BAC\gt\angle BCA=\angle CAD$. Доказано.

Пункт б. Найдём $\operatorname{tg}\angle BAC$.

Угол $BAC$ — разность углов $BAD$ и $CAD$. Тангенс каждого из них найдём из прямоугольных треугольников с катетом-высотой:

$$\operatorname{tg}\angle BAD=\dfrac{BK}{AK}=\dfrac43,\qquad \operatorname{tg}\angle CAD=\dfrac{CL}{AL}=\dfrac49.$$

По формуле тангенса разности:

$$\operatorname{tg}\angle BAC=\dfrac{\frac43-\frac49}{1+\frac43\cdot\frac49}=\dfrac{\frac{8}{9}}{\frac{43}{27}}=\dfrac89\cdot\dfrac{27}{43}=\dfrac{24}{43}.$$

Проверим себя другим путём — через треугольник $ABC$. Его площадь: основание $BC=6$, высота — высота трапеции $4$, поэтому $S_{ABC}=\dfrac12\cdot6\cdot4=12$. Диагональ $AC=\sqrt{AL^2+CL^2}=\sqrt{81+16}=\sqrt{97}$.

Площадь через две стороны и угол между ними даёт синус: $12=\dfrac12\cdot5\cdot\sqrt{97}\cdot\sin\angle BAC$, откуда $\sin\angle BAC=\dfrac{24}{5\sqrt{97}}$.

Теорема косинусов для стороны $BC$ даёт косинус: $36=25+97-2\cdot5\cdot\sqrt{97}\cdot\cos\angle BAC$, откуда $\cos\angle BAC=\dfrac{86}{10\sqrt{97}}=\dfrac{43}{5\sqrt{97}}$.

$$\operatorname{tg}\angle BAC=\dfrac{\sin\angle BAC}{\cos\angle BAC}=\dfrac{24}{43}.$$

Совпало. И с пунктом а согласуется: $\dfrac{24}{43}\gt\dfrac49$, ведь $24\cdot9=216\gt172=4\cdot43$.