Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042535

Пункт а. Докажем с помощью векторов, что диагонали ромба перпендикулярны.

Пусть $ABCD$ — ромб. Возьму за основу два вектора сторон, выходящих из вершины $A$: $\vec a=\overrightarrow{AB}$ и $\vec b=\overrightarrow{AD}$. Все стороны ромба равны, поэтому $|\vec a|=|\vec b|$.

Выражу векторы диагоналей. Диагональ $\overrightarrow{AC}$ — по правилу параллелограмма (ромб — параллелограмм, построенный на $\vec a$ и $\vec b$):

$$\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b.$$

Диагональ $\overrightarrow{BD}$ — по правилу треугольника, пройдя из $B$ в $A$ и дальше в $D$:

$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\vec a+\vec b.$$

Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Считаю его, раскрывая скобки (скалярное произведение перестановочно: $\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$):

$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=(\vec a+\vec b)\cdot(\vec b-\vec a)=\vec a\cdot\vec b-|\vec a|^2+|\vec b|^2-\vec b\cdot\vec a=|\vec b|^2-|\vec a|^2.$$

Так как $|\vec a|=|\vec b|$, это произведение равно нулю, и $AC\perp BD$. Что и требовалось доказать.

Обратите внимание: свойство ромба (равенство соседних сторон) понадобилось только в последней строке. У произвольного параллелограмма $|\vec a|\neq|\vec b|$, и диагонали не перпендикулярны.

Проверка на координатах: ромб $A(0;\,0)$, $B(3;\,4)$, $C(8;\,4)$, $D(5;\,0)$ — все стороны равны $5$. Векторы диагоналей $\overrightarrow{AC}=(8;\,4)$ и $\overrightarrow{BD}=(2;\,-4)$, их скалярное произведение $8\cdot2+4\cdot(-4)=16-16=0$.

Пункт б. Найдём площадь ромба при $\vec a\cdot\vec b=7$ и $AC=8$.

Обозначим сторону ромба $s$: $|\vec a|=|\vec b|=s$. Квадрат длины диагонали — скалярный квадрат вектора $\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b$:

$$AC^2=|\vec a|^2+2\,\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2=2s^2+14.$$

Из $AC=8$ получаем $64=2s^2+14$, откуда $s^2=25$, $s=5$.

Так же для второй диагонали $\overrightarrow{BD}=\vec b-\vec a$:

$$BD^2=|\vec b|^2-2\,\vec a\cdot\vec b+|\vec a|^2=2s^2-14=50-14=36,\qquad BD=6.$$

По пункту а диагонали перпендикулярны, поэтому площадь ромба — половина произведения диагоналей:

$$S=\dfrac12\cdot AC\cdot BD=\dfrac12\cdot8\cdot6=24.$$

Проверим себя через угол $A$. Из скалярного произведения $\cos\angle A=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{s^2}=\dfrac{7}{25}$, тогда $\sin\angle A=\sqrt{1-\dfrac{49}{625}}=\dfrac{24}{25}$. Площадь ромба равна квадрату стороны, умноженному на синус угла:

$$S=25\cdot\dfrac{24}{25}=24.$$

Совпало.