Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042533

Пункт а. Докажем, что $ABCD$ — трапеция.

Пусть в выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ точка $M$ — середина стороны $AB$, точка $N$ — середина стороны $CD$, и по условию $MN=\dfrac{AD+BC}{2}$. Нужно доказать, что $AD\parallel BC$.

Стороны $AD$ и $BC$ напрямую с отрезком $MN$ не связаны. Мостик даёт середина диагонали: пусть $O$ — середина диагонали $BD$.

В треугольнике $ABD$ точки $M$ и $O$ — середины сторон $AB$ и $BD$, значит, $MO$ — средняя линия. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине:

$$MO\parallel AD,\qquad MO=\dfrac{AD}{2}.$$

В треугольнике $BCD$ точки $O$ и $N$ — середины сторон $BD$ и $CD$, значит, $ON$ — тоже средняя линия:

$$ON\parallel BC,\qquad ON=\dfrac{BC}{2}.$$

Складывая, получаем $MO+ON=\dfrac{AD+BC}{2}$, а по условию это и есть $MN$. Итак, $MO+ON=MN$.

Для любых трёх точек выполняется неравенство треугольника $MN\leqslant MO+ON$, причём равенство бывает только тогда, когда точка $O$ лежит на отрезке $MN$. Значит, $O$ лежит на отрезке $MN$, и прямые $MO$ и $ON$ совпадают с прямой $MN$.

Тогда $AD\parallel MO$, то есть $AD\parallel MN$, и $BC\parallel ON$, то есть $BC\parallel MN$. Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой: $AD\parallel BC$. Совпасть эти прямые не могут — это противоположные стороны выпуклого четырёхугольника. Следовательно, $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$, что и требовалось доказать.

Замечание. Если вдобавок $AD=BC$, четырёхугольник оказывается параллелограммом — для него условие тоже выполняется ($MN=AD=BC$). Так что «трапеция» здесь понимается в широком смысле: пара противоположных сторон параллельна.

Проверка на четырёхугольнике без параллельных сторон: $A(0;\,0)$, $B(0;\,2)$, $C(3;\,3)$, $D(4;\,0)$. Здесь $M(0;\,1)$, $N(3{,}5;\,1{,}5)$, $MN=\sqrt{12{,}25+0{,}25}\approx3{,}54$, а $\dfrac{AD+BC}{2}=\dfrac{4+\sqrt{10}}{2}\approx3{,}58$ — строго больше, как и должно быть.

Пункт б. Найдём площадь при $AD=18$, $BC=4$, $AB=13$, $CD=15$.

По пункту а $AD\parallel BC$, то есть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD=18$ и $BC=4$. Её площадь — полусумма оснований на высоту, полусумма равна $\dfrac{18+4}{2}=11$. Осталось найти высоту.

Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную $AB$; она пересечёт $AD$ в точке $E$. Четырёхугольник $ABCE$ — параллелограмм, поэтому $CE=AB=13$ и $AE=BC=4$, откуда $ED=18-4=14$.

Высота трапеции равна высоте треугольника $CED$ со сторонами $13$, $14$, $15$, проведённой к стороне $ED=14$. Площадь этого треугольника найдём по формуле Герона: полупериметр $p=\dfrac{13+14+15}{2}=21$,

$$S_{CED}=\sqrt{21\cdot(21-13)\cdot(21-14)\cdot(21-15)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=\sqrt{7056}=84.$$

Тогда высота

$$h=\dfrac{2S_{CED}}{ED}=\dfrac{2\cdot84}{14}=12,$$

и площадь трапеции

$$S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot h=11\cdot12=132.$$

Проверим себя координатами. Положим $A(0;\,0)$, $D(18;\,0)$, $B(p;\,h)$, $C(p+4;\,h)$. Из $AB=13$ и $CD=15$:

$$p^2+h^2=169,\qquad (14-p)^2+h^2=225.$$

Вычитаем: $196-28p=56$, откуда $p=5$ и $h=\sqrt{169-25}=12$. Высота та же, площадь $132$. Заодно $MN$: $M\left(\dfrac52;\,6\right)$, $N\left(\dfrac{27}{2};\,6\right)$, $MN=11=\dfrac{18+4}{2}$ — условие выполнено.