Задание 15 ЕГЭ по математике №00042123

Ребро $SD$ перпендикулярно основанию, значит, перпендикулярно любой прямой в плоскости основания. Этим и будем пользоваться.

Пункт а (доказательство).

Шаг 1. $AB\perp AD$ (стороны прямоугольника) и $AB\perp SD$ (так как $SD$ перпендикулярно плоскости основания). Прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $SAD$, значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $AB\perp(SAD)$.

Шаг 2. Через точку $N$ проведём в основании прямую, параллельную $AB$; она пересечёт $BC$ в точке $K$. Четырёхугольник $ABKN$ — прямоугольник ($AN\parallel BK$, $NK\parallel AB$, угол $A$ прямой), поэтому $NK=AB$.

Шаг 3. $NK\parallel AB$ и $AB\perp(SAD)$, значит, $NK\perp(SAD)$, и потому $NK\perp MN$ (прямая $MN$ лежит в плоскости $SAD$). Кроме того, $NK\perp BC$, так как $NK\parallel AB$ и $AB\perp BC$.

Шаг 4. Отрезок $NK$ перпендикулярен обеим прямым $MN$ и $BC$, а его концы лежат на них. Это общий перпендикуляр, и его длина равна расстоянию между прямыми: $\rho(MN,BC)=NK=AB$. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Шаг 1. Найдём стороны основания. По теореме о трёх перпендикулярах $AB\perp SA$ (проекция $DA$ наклонной $SA$ перпендикулярна $AB$), значит, треугольник $SAB$ прямоугольный с прямым углом $A$:

$$AB^2=SB^2-SA^2=601-576=25,\qquad AB=5.$$

Аналогично $BC\perp SC$ (проекция $DC$ наклонной $SC$ перпендикулярна $BC$), и треугольник $SCB$ прямоугольный:

$$BC^2=SB^2-SC^2=601-160=441,\qquad BC=AD=21.$$

Шаг 2. Высота пирамиды. Из прямоугольного треугольника $SDA$:

$$SD^2=SA^2-AD^2=576-441=135,\qquad SD=\sqrt{135}=3\sqrt{15}.$$

Шаг 3. Основание пирамиды $MABCN$ — четырёхугольник $ABCN$ в плоскости основания. Из $AN:ND=2:1$ и $AD=21$ получаем $AN=14$, $ND=7$. $ABCN$ — это прямоугольник $ABCD$ без прямоугольного треугольника $NDC$:

$$S_{ABCN}=21\cdot5-\dfrac12\cdot7\cdot5=105-\dfrac{35}{2}=\dfrac{175}{2}.$$

Шаг 4. Высота из точки $M$. Опустим перпендикуляр $MH$ на основание; $MH\parallel SD$, и $H$ лежит на $AD$. Треугольники $AMH$ и $ASD$ подобны, а $AM=\dfrac12AS$, поэтому $MH=\dfrac12SD=\dfrac{3\sqrt{15}}{2}$.

Шаг 5. Объём:

$$V_{MABCN}=\dfrac13\cdot S_{ABCN}\cdot MH=\dfrac13\cdot\dfrac{175}{2}\cdot\dfrac{3\sqrt{15}}{2}=\dfrac{175\sqrt{15}}{4}.$$

Проверим площадь основания по-другому: $ABCN$ — прямоугольная трапеция с основаниями $AN=14$, $BC=21$ и высотой $AB=5$, и $\dfrac{14+21}{2}\cdot5=\dfrac{175}{2}$. Совпало.