Задание 15 ЕГЭ по математике №00042124

Ребро $SD$ перпендикулярно основанию, поэтому и $SA$, и $SB$, и $SC$ — наклонные, а их проекции — отрезки $DA$, $DB$, $DC$.

Пункт а (доказательство).

Шаг 1. Прямая $BC$ параллельна прямой $AD$, лежащей в плоскости $SAD$. По признаку параллельности прямой и плоскости $BC\parallel(SAD)$.

Шаг 2. Прямая $MN$ лежит в плоскости $SAD$. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из них до плоскости, которая проходит через другую параллельно первой. Значит, $\rho(MN,BC)=\rho\big(BC,(SAD)\big)$, а это расстояние от любой точки прямой $BC$ до плоскости $SAD$, например от точки $B$.

Шаг 3. $AB\perp AD$ (прямоугольник) и $AB\perp SD$ ($SD$ перпендикулярно основанию), поэтому $AB\perp(SAD)$. Значит, $AB$ — перпендикуляр из $B$ к плоскости $SAD$, и $\rho\big(B,(SAD)\big)=AB$.

Итак, $\rho(MN,BC)=AB$. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Шаг 1. Обозначим $SD=h$, $AD=x$, $DC=y$. Из прямоугольных треугольников $SDA$, $SDC$ и $SDB$ (в последнем $DB^2=x^2+y^2$ по теореме Пифагора для прямоугольника):

$$h^2+x^2=SA^2=225,\qquad h^2+y^2=SC^2=250,\qquad h^2+x^2+y^2=SB^2=394.$$

Шаг 2. Вычтем из третьего равенства первое: $y^2=394-225=169$, $y=DC=AB=13$. Вычтем второе: $x^2=394-250=144$, $x=AD=BC=12$. Тогда $h^2=225-144=81$, $h=SD=9$.

Шаг 3. Основание пирамиды $MABCN$ — прямоугольная трапеция $ABCN$: $AN\parallel BC$, высота $AB$. Из $AN:ND=3:1$ и $AD=12$ получаем $AN=9$.

$$S_{ABCN}=\dfrac{AN+BC}{2}\cdot AB=\dfrac{9+12}{2}\cdot13=\dfrac{273}{2}.$$

Шаг 4. Высота из $M$. Раз $AM=2MS$, то $AM=\dfrac23AS$. Перпендикуляр $MH$ к основанию параллелен $SD$, и из подобия треугольников $AMH$ и $ASD$:

$$MH=\dfrac23\,SD=\dfrac23\cdot9=6.$$

Шаг 5. Объём:

$$V_{MABCN}=\dfrac13\cdot\dfrac{273}{2}\cdot6=273.$$

Проверим себя: площадь $ABCN$ можно получить и как прямоугольник без треугольника $NDC$: $12\cdot13-\dfrac12\cdot3\cdot13=156-\dfrac{39}{2}=\dfrac{273}{2}$. Совпало.