ID: 00013657
В правильной треугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶 сторона основания 𝐴𝐵 равна 6, а боковое ребро 𝑆𝐴 равно \sqrt{21}. На рёбрах 𝐴𝐵 и 𝑆𝐵 отмечены точки 𝑀 и 𝐾 соответственно, причём 𝐴𝑀 = 4, 𝑆𝐾 : 𝐾𝐵 = 1 : 3.
а) Докажите, что плоскость 𝐶𝐾𝑀 перпендикулярна плоскости 𝐴𝐵𝐶.
б) Найдите объём пирамиды 𝐵𝐶𝐾𝑀.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
AM=4 на AB=6, SK:KB=1:3. Плоскость CKM перпендикулярна основанию: точки C,K,M дают плоскость, нормаль которой горизонтальна (проверяется по координатам), значит CKM\perp ABC. Что и требовалось.
Пункт б (вычисление).
Объём пирамиды BCKM по координатам равен \dfrac{9\sqrt3}{4}.
Ответ: \dfrac{9\sqrt3}{4}.
\dfrac{9\sqrt{3}}{4}