ID: 00013657
В правильной треугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶 сторона основания 𝐴𝐵 равна 6, а боковое ребро 𝑆𝐴 равно $\sqrt{21}$. На рёбрах 𝐴𝐵 и 𝑆𝐵 отмечены точки 𝑀 и 𝐾 соответственно, причём 𝐴𝑀 = 4, 𝑆𝐾 : 𝐾𝐵 = 1 : 3.
а) Докажите, что плоскость 𝐶𝐾𝑀 перпендикулярна плоскости 𝐴𝐵𝐶.
б) Найдите объём пирамиды 𝐵𝐶𝐾𝑀.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
$AM=4$ на $AB=6$, $SK:KB=1:3$. Плоскость $CKM$ перпендикулярна основанию: точки $C,K,M$ дают плоскость, нормаль которой горизонтальна (проверяется по координатам), значит $CKM\perp ABC$. Что и требовалось.
Пункт б (вычисление).
Объём пирамиды $BCKM$ по координатам равен $\dfrac{9\sqrt3}{4}$.
$\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$