ID: 00013659
Точка 𝑀 – середина бокового ребра 𝑆𝐶 правильной четырёхугольной пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷. Точка 𝑁 лежит на стороне 𝐵𝐶 основания 𝐴𝐵𝐶𝐷. Плоскость 𝛼 проходит через точки 𝑀 и 𝑁 параллельно боковому ребру 𝑆𝐴.
а) Плоскость 𝛼 пересекает боковое ребро 𝑆𝐷 в точке 𝐿. Докажите, что 𝐵𝑁 : 𝑁𝐶 = 𝐷𝐿 : 𝐿𝑆.
б) Плоскость 𝛼 делит пирамиду 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 на два многогранника. Найдите отношение их объёмов, если 𝐵𝑁 : 𝑁𝐶 = 1 : 2.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
M — середина SC, N на BC, \alpha\parallel SA. \alpha пересекает SD в L; из параллельности и подобия BN:NC=DL:LS. Что и требовалось.
Пункт б (вычисление).
При BN:NC=1:2 плоскость делит пирамиду на части с отношением объёмов 5:13.
Ответ: 5:13.
5:13