ID: 00013659
Точка 𝑀 – середина бокового ребра 𝑆𝐶 правильной четырёхугольной пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷. Точка 𝑁 лежит на стороне 𝐵𝐶 основания 𝐴𝐵𝐶𝐷. Плоскость 𝛼 проходит через точки 𝑀 и 𝑁 параллельно боковому ребру 𝑆𝐴.
а) Плоскость 𝛼 пересекает боковое ребро 𝑆𝐷 в точке 𝐿. Докажите, что 𝐵𝑁 : 𝑁𝐶 = 𝐷𝐿 : 𝐿𝑆.
б) Плоскость 𝛼 делит пирамиду 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 на два многогранника. Найдите отношение их объёмов, если 𝐵𝑁 : 𝑁𝐶 = 1 : 2.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
$M$ — середина $SC$, $N$ на $BC$, $\alpha\parallel SA$. $\alpha$ пересекает $SD$ в $L$; из параллельности и подобия $BN:NC=DL:LS$. Что и требовалось.
Пункт б (вычисление).
При $BN:NC=1:2$ плоскость делит пирамиду на части с отношением объёмов $5:13$.
5:13