Задание 15 ЕГЭ по математике №00013659

Задание №15. Стереометрическая задача

Объёмы многогранников

№2. Задание 15

ID: 00013659

Точка 𝑀 – середина бокового ребра 𝑆𝐶 правильной четырёхугольной пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷. Точка 𝑁 лежит на стороне 𝐵𝐶 основания 𝐴𝐵𝐶𝐷. Плоскость 𝛼 проходит через точки 𝑀 и 𝑁 параллельно боковому ребру 𝑆𝐴.

а) Плоскость 𝛼 пересекает боковое ребро 𝑆𝐷 в точке 𝐿. Докажите, что 𝐵𝑁 : 𝑁𝐶 = 𝐷𝐿 : 𝐿𝑆.

б) Плоскость 𝛼 делит пирамиду 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 на два многогранника. Найдите отношение их объёмов, если 𝐵𝑁 : 𝑁𝐶 = 1 : 2.

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

$$M$$ — середина $$SC$$ , $$N$$ на $$BC$$ , $\alpha\parallel SA$ . $\alpha$ пересекает $$SD$$ в $$L$$ ; из параллельности и подобия $$BN:NC=DL:LS$$ . Что и требовалось.

Пункт б (вычисление).

При $$BN:NC=1:2$$ плоскость делит пирамиду на части с отношением объёмов $$5:13$$ .

Ответ

5:13

Видеоразбор

Другие задания по теме «Объёмы многогранников» (8)