Задание 15 ЕГЭ по математике №00041798

Пункт а (доказательство). Точки $M$ и $K$ — середины рёбер $SA$ и $SD$, поэтому $MK$ — средняя линия треугольника $ASD$ и $MK\parallel AD$.

В правильном шестиугольнике с центром $O$ треугольники $OAB$ и $OBC$ равносторонние, поэтому $ABCO$ — ромб (все его стороны равны стороне шестиугольника). Противоположные стороны ромба параллельны: $OA\parallel BC$. Точка $O$ лежит на диагонали $AD$, значит $AD\parallel BC$.

Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой: $MK\parallel BC$. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление). Плоскость $BMC$ пересекает основание пирамиды по прямой $BC$. Найдём высоту пирамиды $MABF$ и площадь её основания $ABF$.

Пусть $SO$ — высота пирамиды ($O$ — центр основания), $H$ — середина отрезка $AO$. Отрезок $MH$ — средняя линия треугольника $SAO$, поэтому $MH\parallel SO$ и $MH=\dfrac12 SO$; значит $MH$ перпендикулярен плоскости основания.

Четырёхугольник $ABOF$ — тоже ромб, и его диагонали $AO$ и $BF$ делятся точкой пересечения пополам. Поэтому $H$ — середина и отрезка $BF$.

Отрезок $FC$ проходит через центр $O$ и является диаметром описанной окружности шестиугольника, а вписанный угол $FBC$ опирается на этот диаметр, значит $\angle FBC=90^\circ$, то есть $BH\perp BC$. Так как $BH$ — проекция наклонной $BM$ на основание, по теореме о трёх перпендикулярах $BM\perp BC$. Значит $\angle MBH$ — линейный угол между плоскостью $BMC$ и основанием: $\angle MBH=45^\circ$.

Длина $BF$: в треугольнике $ABF$ стороны $AB=AF=8$, угол $BAF=120^\circ$ (угол правильного шестиугольника). По теореме косинусов

$$BF^{2}=8^{2}+8^{2}-2\cdot 8\cdot 8\cdot\cos 120^\circ=64+64+64=192,\qquad BF=8\sqrt{3}.$$

Тогда $BH=\dfrac12 BF=4\sqrt{3}$, и из прямоугольного треугольника $MHB$

$$MH=BH\cdot\mathrm{tg}\,45^\circ=4\sqrt{3}.$$

Отрезок $MH$ перпендикулярен плоскости $ABF$, поэтому это высота пирамиды $MABF$: $MH=4\sqrt{3}$.

Площадь основания $ABF$:

$$S_{ABF}=\dfrac12\cdot AB\cdot AF\cdot\sin 120^\circ=\dfrac12\cdot 8\cdot 8\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}.$$

Объём пирамиды $MABF$:

$$V=\dfrac13\cdot MH\cdot S_{ABF}=\dfrac13\cdot 4\sqrt{3}\cdot 16\sqrt{3}=\dfrac{4\cdot 16\cdot 3}{3}=64.$$

Проверим себя через всю пирамиду. Её высота $SO=2MH=8\sqrt{3}$, площадь шестиугольника $6\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 8^{2}=96\sqrt{3}$, объём $\dfrac13\cdot 96\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3}=768$. Треугольник $ABF$ — шестая часть шестиугольника, а высота $MH$ — половина $SO$, поэтому объём $MABF$ должен быть $\dfrac{768}{12}=64$. Сошлось.