Треугольники… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042534

Пункт а. Докажем, что для любых векторов $\vec a$ и $\vec b$ выполняется неравенство $|\vec a+\vec b|\leqslant|\vec a|+|\vec b|$.

Докажу неравенство двумя способами: геометрически и алгебраически. Алгебраический покрывает сразу все случаи, геометрический объясняет смысл.

Способ 1 (геометрия). Если один из векторов нулевой, например $\vec b=\vec 0$, то обе части равны $|\vec a|$ и неравенство верно. Пусть оба вектора ненулевые. Отложу $\vec a=\overrightarrow{AB}$ от точки $A$, а $\vec b=\overrightarrow{BC}$ — от конца первого вектора. По правилу треугольника $\vec a+\vec b=\overrightarrow{AC}$.

Если векторы не коллинеарны, точки $A$, $B$, $C$ образуют треугольник, и по неравенству треугольника $AC\lt AB+BC$, то есть $|\vec a+\vec b|\lt|\vec a|+|\vec b|$.

Если векторы сонаправлены, точки лежат на одной прямой в порядке $A$, $B$, $C$, и $AC=AB+BC$ — равенство. Если противоположно направлены, то $AC=\bigl|AB-BC\bigr|$, а это меньше $AB+BC$. Во всех случаях неравенство выполнено.

Способ 2 (алгебра). Обе части неравенства неотрицательны, поэтому оно равносильно неравенству для квадратов:

$$|\vec a+\vec b|^2\leqslant(|\vec a|+|\vec b|)^2.$$

Квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату. Раскрываю скобки, как в квадрате суммы:

$$(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a+\vec b)=|\vec a|^2+2\,\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2.$$

Правая часть: $(|\vec a|+|\vec b|)^2=|\vec a|^2+2|\vec a||\vec b|+|\vec b|^2$. Убираю одинаковые слагаемые с обеих сторон и делю на $2$ — остаётся доказать

$$\vec a\cdot\vec b\leqslant|\vec a||\vec b|.$$

Для ненулевых векторов $\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\varphi$, где $\varphi$ — угол между ними, а $\cos\varphi\leqslant1$. Для нулевого вектора обе части равны нулю. Значит, последнее неравенство верно, а вместе с ним и исходное. Что и требовалось доказать.

Проверка на числах: $\vec a(3;\,0)$, $\vec b(0;\,4)$. Тогда $\vec a+\vec b=(3;\,4)$, $|\vec a+\vec b|=5$, а $|\vec a|+|\vec b|=3+4=7$, и $5\lt7$. Равенство получается только для сонаправленных векторов, например $\vec a(1;\,2)$ и $\vec b(2;\,4)$: $|\vec a+\vec b|=|(3;\,6)|=3\sqrt5=\sqrt5+2\sqrt5$.

Пункт б. Найдём угол между $\vec a$ и $\vec b$ при $|\vec a|=3$, $|\vec b|=5$, $|\vec a+\vec b|=7$.

Как и в пункте а, квадрат длины суммы равен скалярному квадрату:

$$|\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+2\,\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2\ \Rightarrow\ 49=9+2\,\vec a\cdot\vec b+25.$$

Отсюда $\vec a\cdot\vec b=\dfrac{49-34}{2}=\dfrac{15}{2}$. Косинус угла $\varphi$ между векторами — скалярное произведение, делённое на произведение длин:

$$\cos\varphi=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}=\dfrac{15/2}{3\cdot5}=\dfrac12,\qquad \varphi=60^\circ.$$

Проверим себя геометрически, как в способе 1 пункта а. Отложим $\vec a=\overrightarrow{AB}$, $\vec b=\overrightarrow{BC}$; тогда $\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b$, и треугольник $ABC$ имеет стороны $AB=3$, $BC=5$, $AC=7$. По теореме косинусов

$$\cos\angle ABC=\dfrac{9+25-49}{2\cdot3\cdot5}=-\dfrac12,\qquad \angle ABC=120^\circ.$$

Но угол $ABC$ — не угол между векторами: векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ выходят из разных точек. Отложив их от одной точки $B$, получим векторы $\overrightarrow{BA'}=\vec a$ (продолжение $AB$ за точку $B$) и $\overrightarrow{BC}$; угол между ними смежный с углом $ABC$: $180^\circ-120^\circ=60^\circ$. Совпало.

И с пунктом а всё согласовано: $|\vec a+\vec b|=7\lt8=|\vec a|+|\vec b|$, векторы не сонаправлены.