Треугольники… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042512

Пункт а. Докажу, что к большей стороне проведена меньшая биссектриса.

Пусть $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ — противолежащие им углы, $l_a$ и $l_b$ — биссектрисы, проведённые к сторонам $a$ и $b$ (то есть из вершин углов $\alpha$ и $\beta$). Докажу: если $a\gt b$, то $l_a\lt l_b$.

Формула биссектрисы. Биссектриса $l_a$ делит треугольник на два треугольника со сторонами $b$ и $c$, прилегающими к углам по $\dfrac{\alpha}{2}$. Площадь всего треугольника равна сумме их площадей:

$$\dfrac12bc\sin\alpha=\dfrac12b\,l_a\sin\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac12c\,l_a\sin\dfrac{\alpha}{2}.$$

Подставляю $\sin\alpha=2\sin\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}$ и делю на $\dfrac12\sin\dfrac{\alpha}{2}\ne0$: $2bc\cos\dfrac{\alpha}{2}=(b+c)\,l_a$, то есть

$$l_a=\dfrac{2bc}{b+c}\cos\dfrac{\alpha}{2},\qquad\text{и аналогично}\qquad l_b=\dfrac{2ac}{a+c}\cos\dfrac{\beta}{2}.$$

Сравнение косинусов. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, поэтому из $a\gt b$ следует $\alpha\gt\beta$. Половины углов треугольника лежат между $0^\circ$ и $90^\circ$, а на этом промежутке косинус убывает. Значит, $\cos\dfrac{\alpha}{2}\lt\cos\dfrac{\beta}{2}$.

Сравнение дробей. Перепишу множители через обратные величины: $\dfrac{bc}{b+c}=\dfrac{1}{\frac1b+\frac1c}$ и $\dfrac{ac}{a+c}=\dfrac{1}{\frac1a+\frac1c}$. Из $a\gt b$ следует $\dfrac1a\lt\dfrac1b$, поэтому знаменатель второй дроби меньше, а сама дробь больше: $\dfrac{bc}{b+c}\lt\dfrac{ac}{a+c}$.

Вывод. Оба множителя в формуле для $l_a$ положительны и строго меньше соответствующих множителей в формуле для $l_b$. Значит, $l_a\lt l_b$: большей стороне $a$ соответствует меньшая биссектриса. Что и требовалось доказать.

Проверка на треугольнике со сторонами $a=7$, $b=5$, $c=3$. По формуле квадрата биссектрисы $l^2=xy-mn$ (произведение прилежащих сторон минус произведение отрезков третьей стороны): $l_a^2=15-\dfrac{21}{8}\cdot\dfrac{35}{8}=\dfrac{225}{64}$, $l_a=1{,}875$; $l_b^2=21-\dfrac{35}{10}\cdot\dfrac{15}{10}=\dfrac{1575}{100}$, $l_b\approx3{,}97$; $l_c^2=35-\dfrac{21}{12}\cdot\dfrac{15}{12}=\dfrac{4725}{144}$, $l_c\approx5{,}73$. Стороны $7\gt5\gt3$, биссектрисы $1{,}875\lt3{,}97\lt5{,}73$ — порядок обратный, как и доказано.

Пункт б. Найду наименьшую биссектрису треугольника со сторонами $3$, $6$, $7$.

По пункту а наименьшая биссектриса проведена к наибольшей стороне $7$, то есть из вершины угла между сторонами $3$ и $6$. Обозначу этот угол $\alpha$.

По теореме косинусов

$$\cos\alpha=\dfrac{3^2+6^2-7^2}{2\cdot3\cdot6}=\dfrac{9+36-49}{36}=-\dfrac19.$$

Половина угла треугольника острая, поэтому $\cos\dfrac{\alpha}{2}\gt0$ и

$$\cos^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{1+\cos\alpha}{2}=\dfrac{1-\frac19}{2}=\dfrac49,\qquad\cos\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac23.$$

Формула биссектрисы из пункта а для прилежащих сторон $3$ и $6$:

$$l=\dfrac{2\cdot3\cdot6}{3+6}\cos\dfrac{\alpha}{2}=4\cdot\dfrac23=\dfrac83.$$

Проверю другим путём. Биссектриса делит сторону $7$ на отрезки, пропорциональные сторонам $3$ и $6$: $\dfrac73$ и $\dfrac{14}{3}$. В треугольнике со сторонами $3$, $\dfrac73$ и биссектрисой $l$ угол между сторонами $3$ и $7$ исходного треугольника имеет косинус $\dfrac{9+49-36}{2\cdot3\cdot7}=\dfrac{22}{42}=\dfrac{11}{21}$. По теореме косинусов $l^2=9+\dfrac{49}{9}-2\cdot3\cdot\dfrac73\cdot\dfrac{11}{21}=\dfrac{81+49-66}{9}=\dfrac{64}{9}$, $l=\dfrac83$. Совпало.

Для сравнения две другие биссектрисы: к стороне $6$ — $l^2=3\cdot7-\dfrac95\cdot\dfrac{21}{5}=\dfrac{336}{25}$, $l\approx3{,}67$; к стороне $3$ — $l^2=6\cdot7-\dfrac{18}{13}\cdot\dfrac{21}{13}=\dfrac{6720}{169}$, $l\approx6{,}31$. Обе больше $\dfrac83$, как и обещает пункт а.